双線形関数は物理学でどこに登場しますか？

ベクトル解析で双線形関数というものを勉強したのですが、
物理学ではどこの分野にどういう形で使われるのでしょうか？
検索したりなどしてもみましたが、数学のページだけがかかって、具体的な物理への応用について触れられているページが見つかりませんでした。
出来れば、具体的に教えて頂けないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/06/20 17:39

No.1の言われているように、物理のいろいろなところに出てきます。

（例１）
もっとも簡単なものは、「２点で支えたひも」や「２鉄塔間の高圧電線」の形は「懸垂線（カテナリー）」と言ってCoshで
表せる。

（例２）微分方程式
d^2y/dx^2=-k^2yの解はCos(kx),Sin(kx)ですが、
d^2y/dx^2=+k^2yの解はCosh(kx),Sinh(kx)です。両者はラプラスの方程式の解と関係があります。

(例３）特殊相対論
普通の２次元ｘ－ｙ座標の原点についての回転では、座標変換は
x'= cosθ.x + sinθ.y
y'=-sinθ.x + cosθ.y
のようになりますが、特殊相対論におけるローレンツ変換は、
２つの慣性系の（ｘ軸方向の）相対速度をｖとして
tanhθ= v/c
とおけば、(cは光速）
つぎの２式（＊）のようになります。

x' = coshθ.x + sinhθ.ct
ct'= sinhθ.x + coshθ.ct　　　　...（＊）

これが普通のローレンツ変換と同じであることをみるには、
双線形関数で基本的な関係　coshθ^2 - sinhθ^2 =1を使って、
（両辺をcosh^2(θ)で割ったもの： 1-tanh^2(θ)=1/cosh^2(θ)をつかって、）
coshθ = 1/√{1-tanh^2(θ)} = 1/√{1-(v/c)^2}
sinhθ = tanh(θ)/ √{1-tanh^2(θ)} = (v/c)/√{1-(v/c)^2}

これらを（＊）に代入して、
x' = 1/√{1-(v/c)^2}.x + (v/c)/√{1-(v/c)^2}.ct
　=(x+vt)/√{1-(v/c)^2}

ct'= (v/c)/√{1-(v/c)^2}.x + 1/√{1-(v/c)^2}.ct
= {(v/c)x+ct}/√{1-(v/c)^2}　　
（あるいは両辺をｃで割って）　
t' = {(v/c^2)x+t}/√{1-(v/c)^2}　

すなわち、普通のローレンツ変換
x' =　(x+vt)/√{1-(v/c)^2}
t' = {(v/c^2)x+t}/√{1-(v/c)^2}
となります。

双線形関数は三角関数との関係も含めて大変有用です。

No.3 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/06/20 17:47

No.2ですが、双曲線関数と双線型関数とを早とちりしたようですね。

双線型関数は量子力学でも出てきそうですね。波動関数と行列、ブラ・ケットなど。

失礼しました。（余興でNo.2の回答も読んでください。）

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/06/20 14:28

内積とかテンソルとか、物理でもいたるところで使うんじゃないですかね。