supとmaxの違いを教えて下さい。

数学記号でsupとmaxというものがありますが、
その違いがどうしても分かりません。
どなたか例を挙げて説明して頂けないでしょうか？

よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： taparon 回答日時： 2009/06/20 18:52

例はNo.1さんのが分かりやすいと思いますので、補足を。

順序集合Ｕの部分集合Ｘのsupは、Ｘの上界（Ｘのどの元についても、等しいかより大きなもの）の中で一番小さい元、maxはＸの中で一番大きな元です。

で、一番の違いは、maxもＸの上界のひとつですから、
★ maxが存在するならば、supも存在して値は等しくなります。
★ しかし、supが存在するからといってmaxが存在するとは限りません（存在するなら等しくなります）。

もちろん、Ｘのsupが存在しない場合もあります（この場合は当然maxも存在しません）。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/06/20 14:33

maxは、最大元が実際に（考えている集合の中に）存在していないといけない。

たとえば、Ａ＝(0,1) 開集合 とすれば
max(A)　は存在しない
sup(A) = 1