数列の和と漸化式について

現在高2です。できれば、かなり混乱してますので、わかりやすく教えていただきたいです。よろしくお願いします。

数列｛An}の初項から第n項までの和をSnとする。Sn=1-nAn (n=1,2,3,…)が成り立つとき、この数列の一般項Anを求める。このような問題です。

Sn-S(n-1)=An を使うことは、わかります。　すると、
　Sn=1-nAnとS(n-1)=1-(n-1)A(n-1)　の、差は、Sn-S(n-1)=-nAn+(n-1)A(n-1)となり、Sn-S(n-1)=An だから、結局この式は、
An=-nAn+(n-1)A(n-1)になるはずです。

現在ここからわかりません。この後、どのように考えて、続けるか全く分からない状態なので、よろしくお願いします。

答えは、An=1/(n+1)n　になるみたいです。

No.5 ベストアンサー 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/07/07 23:03

>なぜこのようにして解けるのでしょうか？何か、僕は根本的なところ

>で分かってないみたいです。毎回すいません。よろしくお願いします。
>頭の中が混乱してます。

決して難しい話ではないです。
漸化式というものの性質を理解すれば容易だと思います。話を簡単にして
a_n=n*a_(n-1)...(1)
だとします。もし(1)が成り立つならばn→(n-1),(n-1)→(n-2)で次の式を作れば下のようになります。
a_(n-1)=(n-1)*a_(n-2)
以下(n-1)→(n-2),(n-2)→(n-3)と順にいけることが納得できればよいのです。
一般式の意味するところを具体的数字で書けば
a_10=10*a_9
の関係が数字を逐次変えて成り立つということです。即ち
a_9=9*a_8
a_8=8*a_7
......
a_2=1*a_1
となります。これが納得できれば
a_10=10*a_9=10*9*a_8=10*9*8*a_7=10*9*8*7*a_6=....=10!*a_1
ということになります。この形式が質問者さんの問題で少し複雑になっているだけです。

この回答へのお礼

改めて、本当にありがとうございます。理解をはるかに超えた感動に出会えました。
jamf0421さんは神です。本当にありがとうございました。
言っても言いつくせないぐらい感謝しています。ありがとうございました。本当にありがとうございました。

お礼日時：2009/07/07 23:24

No.6 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/07/07 23:30

まず、S１＝A1＝１－A1ですから、A1＝1/2です。

また、An/A(n-1)=(n-1)/(n+1)
ここまではいいですか？
A2を求めてみましょう。　n=2のとき、A2／A1=(2-1)/(2+1)=1/3
そこで、A2=1/3・A1
次にA3を求めましょう。　n=3のとき　A3/A2=(3-1)/(3+1)=2/4
そこで、A3=(2/4)・A2=(2/4)・(1/3)・A1
次にA4を求めましょう。n=4のとき　A4/A3=(4-1)/(4+1)=3/5
そこで、A4=(3/5)・A3=(3/5)・(2/4)・(1/3)・A1　となります。
このように(n-1)/(n+1)がn=2から順に掛け算になっていくでしょう。
これを続けると、
An={(n-1)/(n+1)｝・・・(4/6)・(3/5)・(2/4)・(1/3)・A1　
分子と分母ごとにまとめると、
An={(n-1)(n-2)・・・4・3・2・1}/{(n+1)・n・(n-1)・・・5・4・3}A1
約分すると、Aｎ={2・1}/{(n+1)・n}・A1=={2・1}/{(n+1)・n}・(1/2)
ゆえに、An=1/{n(n+1)}
これでどうですか？

この回答へのお礼

今回本当にありがとうございました。素晴らしすぎてびっくりするぐらいよくわかりました。僕もたくさん練習して、このように考えられるように努力したいと思います。
長々と今回本当にありがとうございました。感動しました。

お礼日時：2009/07/08 19:01

No.4 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/07/07 21:06

#2 の者です。

>何故掛け算なんですか？すいません。なかなかわからなくて。よろしくお願いします。
>An/A(n-1)=(n-1)/(n+1)　きっとこれは、等比数列の公比が一定であることを利用していると思うのですが・・・やはり、捕捉に対しての回答をいただきたいです。よろしくお願いします。
この式の(n-1)/(n+1)を見ていると、ｎが２つずれると、分子と分母の項が約せることに気がつくと思います。次々と約分するために、掛け算をしています。そうすると、両端だけ残ります。
等比数列は関係ありません。公比は一定ではないですよね。
もう少し柔軟に考えましょう。

この回答への補足

パニック寸前です。この解き方で答えが出る意味が全然わかりません。もう少し、お付き合いいただけないでしょうか？

補足日時：2009/07/07 22:09

No.3 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/07/07 20:30

>A_n={(n-1)/(n+1)}A_(n-1)={(n-1)/(n+1)}{(n-2)/n}A_(n-2)

>=...=2(n-1)!/(n+1)!A_1
>={2/(n+1)n}A_1
>この変形をもっと詳しく教えていただけませんか？よろしく
>お願いします。

一つ目の等号はA_nとA_(n-1)の関係ですね。A_nからA_(n-1)に一つ下がると
(n-1)/(n+1)
がかかります。次にもし単にA_(n-1)からA_(n-2)に下がるなら
(n-2)/n
がA_(n-2)にかかったものになりますね。さらにA_(n-2)からA_(n-3)に下がるなら
(n-3)/(n-1)
がA_(n-3)にかかったものになりますね。かくして順番にひとつづつこの形の係数を出しながら、下がっていってA_1になるのです。

この回答への補足

なぜこのようにして解けるのでしょうか？何か、僕は根本的なところで分かってないみたいです。毎回すいません。よろしくお願いします。頭の中が混乱してます。

補足日時：2009/07/07 21:54

No.2 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/07/07 17:07

まず、S１＝A1＝１－A1ですから、A1＝1/2です。

>An=-nAn+(n-1)A(n-1)になるはずです。
整理すると、
(n+1)An=(n-1)A(n-1)になります。
An/A(n-1)=(n-1)/(n+1)
(A2/A1)・(A3/A2)・・・(An/A(n-1))
=(1/3)(2/4)(3/5)・・・((n-1)/(n+1))
=1・2・・・(n-1)/{3・4・・・n・(n+1)｝
=2/{n(n+1)}
ゆえに
　An=2/{n(n+1)}・A1=1/{n(n+1)}
これでどうでしょうか？

この回答への補足

(A2/A1)・(A3/A2)・・・(An/A(n-1))
=(1/3)(2/4)(3/5)・・・((n-1)/(n+1))
=1・2・・・(n-1)/{3・4・・・n・(n+1)｝
=2/{n(n+1)}

何故掛け算なんですか？すいません。なかなかわからなくて。よろしくお願いします。

補足日時：2009/07/07 19:47

この回答へのお礼

An/A(n-1)=(n-1)/(n+1)　きっとこれは、等比数列の公比が一定であることを利用していると思うのですが・・・やはり、捕捉に対しての回答をいただきたいです。よろしくお願いします。

お礼日時：2009/07/07 20:25

No.1 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/07/07 17:04

>An=-nAn+(n-1)A(n-1)になるはずです。

で出来たも同様ですね。
(n+1)A_n=(n-1)A_(n-1)
A_n={(n-1)/(n+1)}A_(n-1)={(n-1)/(n+1)}{(n-2)/n}A_(n-2)
=...=2(n-1)!/(n+1)!A_1
={2/(n+1)n}A_1
になります。2がつくのは分母が(n+1)n(n-1)...3までの掛け算であと2ｘ1を継ぎ足すと(n+1)!になるからです。
そして
S_1=1-A_1=A_1
ですから、これからA_1=1/2が出てきます。

この回答への補足

A_n={(n-1)/(n+1)}A_(n-1)={(n-1)/(n+1)}{(n-2)/n}A_(n-2)
=...=2(n-1)!/(n+1)!A_1
={2/(n+1)n}A_1

この変形をもっと詳しく教えていただけませんか？よろしくお願いします。

補足日時：2009/07/07 20:10