No.2ベストアンサー
- 回答日時:
まず、(a+b)のn乗のa^r×b^(n-r)の係数から。
これは、n個ならんだ(a+b)の内、どのr個の(a+b)からaを取り出すか、ということなので、nC r通りあります。つまり、(a+b)のn乗のa^r×b^(n-r)の係数は、nC r
パスカルの三角形で、nC rは、その上にある(a+b)の(n-1)乗の係数n-1C r-1とn-1C rの和になっている。つまり
nC r=n-1C r-1+n-1C r
これを証明すればいい。で、これは有名な恒等式で、左辺のr個の内の1個に着目して・・・
・これを含めてr個取り出す方法の数が、その1個を除くn-1個からr-1を取り出す方法の数に等しい つまりn-1C r-1
・これを含まずにr個取り出す方法の数が、その1個を除くn-1個からrを取り出す方法の数に等しい つまりn-1C r
これら2つを加えたのが、n個からr個を取り出す方法の数なので、
nC r=n-1C r-1+n-1C r
が証明された。
No.1
- 回答日時:
係数自体は二項定理からも与えられるので、その係数について計算するというのも一手だとは思います。
「パスカルの三角形で」とのことなので、
「三角形の隣り合う数字を足し合わせると、次の項の係数になる」ところについて記します。
(a+b)の(n+1)乗を計算することを考えます。
(a+b)^(n+1)
=(a+b)^n * (a+b)
=(a^n + … + P*a^(n-k)*b^k + Q*a^(n-k-1)*b^(k+1) + … + b^n) * (a+b)
便宜上、係数を P、Qと表しています。
a^(n-k)*b^(k+1)の係数を考えるとき、
・P*a^(n-k)*b^kには、bを乗じたもの
・Q*a^(n-k-1)*b^(k+1)には、aを乗じたもの
が項として与えられます。
よって、a^(n-k)*b^(k+1)の係数は、P+Qとなります。
これはちょうどパスカルの三角形で上の列から係数を足し合わせて、次の列の係数としていることに対応します。
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