一様磁場内に静止している荷電粒子に時間変化する電場を印加

どうしても解けない問題があるので、質問します。
カーテシアン座標のz軸に一様な磁場Bがかかっている。その原点に質量m、電荷qの荷電粒子が静止している。
x軸方向にEsinωtで時間変化する電場を印加したとき、荷電粒子の運動はどうなるか。

というような感じの問題なのですが・・・
僕は次のように考えました。
m(dv^→/dt)=q(E^→+v^→×B^→)
(^→はベクトルという意味)
という関係がありますから、
v^→=(v_x,v_y,_v_z)
B^→=(0,0,B_0)
E^→=(Esinωt,0,0)
と成分表示することで
m(dv_x/dt)=qEsinωt+qv_yB_0
m(dv_y/dt)=-qv_xB_0
m(dv_z/dt)=0
という運動方程式が立てられるではないか？と
そして、それを解こう！っとしたんです。
ところが・・・
v_yについての微分方程式を導くと
駆動項を持つ2階の微分方程式？となり解くのにものすごく時間がかかる！

考え方は合っているでしょうか？
もし間違っているなら、訂正してほしいです・・・
それを解けば答えが導けるというなら意地でもやって見せますが、なかなか式を目の前にして、合っている自信がなく、解くまでに至らないのです。

よろしくおねがいします！

No.1 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/07/29 22:47

合っていると思います。

解析的な解はわかりませんが，数値積分しての運動の特徴は

　電場と磁場の比で形が決まる楕円軌道の大きさが
　電場の振動によって変調を受けるような軌道を描く

といった感じです。

適当な値をとった軌道の例を添付します。t=0からある時間に描く軌道の前半と後半を示しました。実際には条件によって形は様々に変化するようです。また，共振状態も存在し，その場合は軌道が一方的に拡大します。添付した例は共振に近い状態で「うなり」が生じている場合です。共振から離れた条件では，卵形のような軌道になります。振動が遅いとにょろにょろとうねった楕円になります。

No.3 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/07/30 15:44

準定常条件を仮定すれば、式は合っていると思います。

前提条件を限定して、解析しないと思わぬ落とし穴があります。

No.2 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/07/29 22:54

まず、問題の前提条件があると思うのですが。

たとえば、電場の時間変化は準定常条件を満たすとか。
これは、電場が時間変化すると、
　rotH=-∂D/∂t
この現象は無視してよいことを意味しますが。
またさらに電子が運動すると、電流が流れることに相当しますが、
これにより、電場も磁場も変化しますが、これも無視するのか。
あるいは、無視してよいのか。
これらにより、方程式が異なります。

＞_yについての微分方程式を導くと
駆動項を持つ2階の微分方程式？となり解くのにものすごく時間がかかる！
の意味が不明です。
連立の微分方程式をv_xだけの方程式にまとめると
といういみでしょうか？
ものすごく時間がかかる！もさらに分かりません。
過渡的な項を無視すれば、解の形を正弦波とすれば、
簡単に解けますよ。

この回答への補足

＞これは、電場が時間変化すると、
　rotH=-∂D/∂t
この現象は無視してよいことを意味しますが。
またさらに電子が運動すると、電流が流れることに相当しますが、
これにより、電場も磁場も変化しますが、これも無視するのか。
あるいは、無視してよいのか。

無視するとは書いていないですがまずは無視して計算してみたいです。

＞連立の微分方程式をv_xだけの方程式にまとめると
といういみでしょうか？

そうです。僕の知識ではそうやってまとめないと解けないので・・・
ものすごく時間がかかるというは、定数法やら変数分離法やらを使用して一から解こうとしたからです(^_^;)


こういった前提で話をするならば、立てた式はあっているのでしょうか・・・

補足日時：2009/07/29 23:00