円に内接する正n角形と外接する正n角形の面積比

タイトルの通りです。ある円に内接する正n角形及び外接する正n角形の面積比はいくらになりますか？答えに至る道筋も詳述願います。

＊イメージでは→∞でどちらもそのある円に近づくので,面積比は当然1に近づくような解が得られると思いますが…

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/08/12 09:41

円の半径を1としよう。

円の中心をＯ、内接してできる１つの三角形を△ＯＡＢとする。
ＯＡ＝ＯＢ＝1、∠ＡＯＢ＝（2π）/n＝2θとすると、△ＯＡＢ＝（1/2）*1*1*sin（2θ）であるから、内接する正n角形の面積は、Ｐ＝（n/2）*sin（2θ）。
次に、外接だが、円Ｏに外接する三角形において、円との接点をＭ、他の頂点をＣ、Ｄとする。
∠ＣＯＭ＝∠ＤＯＭ＝（π）/n＝θ　であるから、ＭＣ＝tanθより　△ＯＣＭ＝（1/2）*tanθ。
よって、△ＯＣＤ＝tanθ　であるから、外接する正n角形の面積は、Ｑ＝（n）*tanθ。

以上より、Ｐ/Ｑ＝（cosθ）＾2　となる。

計算は、チェックしてね。

No.2 回答者： kaz-a 回答日時： 2009/08/12 01:49

内接正n角形も外接正n角形も、n個の二等辺三角形に分割できます。

円の半径をrとしてこれを2個の直角三角形に分割すると、内接側は斜辺がr、外接側は高さがrとなり、いずれもrとnで面積を表すことができます。

No.1 回答者： enma309 回答日時： 2009/08/11 23:33

　同じようなこと、数III習いたてのころに、僕もやったことありましたよ。

円の半径が１だとすると、内接正ｎ角形の面積は、夾角が２π/ｎでその角を作っている２辺の長さが１の２等辺三角形がｎ個あるものだ、と考えることが出来ますね。
　ということは、内接正ｎ角形の面積は
１/２×ｓｉｎ（２π/ｎ）×１×１×ｎ＝１/２×ｎｓｉｎ（２π/ｎ）

　よって、この極限を求めれば、面積比がどんな形にはるか、分かると思いますよ。θ→０⇒ｓｉｎθ/θ→１を用いるとこれは有限の値に収束します。

　どんな値になるかは実際にやってみてください。ここで、答えをいってしまったら、面白くないですすしね。