問
n人を3つの部屋に分けるとき、どの部屋にも少なくとも1人は入るわけ方は何通りあるか。ただし部屋には区別がないものとする。
という問題を解いていたのですが
(空き部屋があってよい場合)-(空き部屋が1つの場合)-(空き部 屋が2つの場合) として式を立てていたら、(空き部屋が2つの場合)を出すときに変なことに気がつきました。式で考えると、 0人・0人・n人 の部屋に分けるわけですから
nC0×nC0×nCn×1/2!
=1/2 通り となってしまいます
こんなことはありえるのでしょうか?????
ちなみに解答では
{3^n-3(2^n-2)-3}/3! が答えになっています。分配法則を使ってるみたいですが(空き部屋が2つの場合)は 3/3!=1/2 になってることがわかります。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>式で考えると、0人・0人・n人 の部屋に分けるわけですから
>nC0×nC0×nCn×1/2!=1/2 通り となってしまいます
どうして2!で割るのでしょうか?
>{3^n-3(2^n-2)-3}/3! が答えになっています。分配法則を使ってるみたいですが(空き部屋が2つの場合)は 3/3!=1/2 になってることがわかります。
違います。(空き部屋があってよい場合)を考えると、
(空き部屋があってよい場合の順列の数)=3^n
は合ってますが、
(空き部屋があってよい場合の組み合わせの数)=3^n/3!
ではありません。
正確には、
(空き部屋があってよい場合の組み合わせの数)=(3^n-3)/3!+3/3
3!で割るためには、順番を考慮しない場合に同じ組み合わせがすべて6個づつ存在する必要があります。
ところが、全員が1つの部屋になる場合(空き部屋が2つの場合)は、3通りしかないので、6で割ることはできません。
{3^n-3(2^n-2)-3} を 3! で割っているのは、(空き部屋が2つの場合)を除いているからできるのであって、(空き部屋が2つの場合)を含んでいる場合は6で割ることはできません。
答の、{3^n-3(2^n-2)-3}/3! を
(空き部屋があってよい場合)、(空き部屋が1つの場合)、(空き部 屋が2つの場合)に分けて書くと、
{(3^n-3)/3!+3/3} - {3(2^n-2)/3!} - {3/3}
となります。
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