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アフィン空間についていろいろ勉強しているのですが、なかなかわからなくて・・・もう何度質問したことか><

アフィン空間はベクトル空間ではないと思っているのですが、アフィン空間とベクトル空間が同じになる場合があるのでしょうか?
一次結合の係数和が1の時、アフィン空間=ベクトル空間となるのでしょうか?

また、アフィン空間はユークリッド空間から絶対的な原点・座標を取り除いた空間ですよね(wiki参照)。以前の質問で、計量の有無はアフィン空間であるか否かには関係無いとの事でした。
ということは、アフィン空間はベクトル空間ではないが位相空間、計量を定義すれば距離空間となるのでしょうか?

私のイメージでは、
ある集合→(ベクトルを定義)→ベクトル空間→(位相を入れる)→位相空間→(ノルム・内積を定義)→距離空間
なんですが・・・

アフィン空間はこのイメージから外れてしまって良くわからないのです・・・

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A 回答 (4件)

もっと定義を大事にしましょう.


定義をみて「ふーーん」で終わらせてませんか?
自分で例を作ったりしてないですよね

>以前別の方から頂いた回答で、アフィン空間も計量を持つことは出来る
>とありましたので、加法やスカラー倍は存在すると思っていました。

いや・・そうじゃなくって・・・
アフィン空間にはベクトル空間が付随するのです.
その付随したベクトル空間に計量が入ることは
十分ありえるわけで,そのときには
「アフィン空間に計量が入る」というわけ.
ある空間に演算が定義される場合,
その演算について閉じていないと,
つまり,空間の点どうしの演算の結果がやはりその空間の点に
なってないとだめなのです.
たとえばアフィン空間x+y=1の上の二点
(0,1),(1,0)で普通に「加法」したら(1,1)だけども
それはx+y=1の上ではないでしょう?
だから,加法なんて演算は定義されない
(複雑なことをすれば別の「加法」は定義できるかもしれないので
加法そのものが存在しないというのは早計だけど,
今の状況では問題ないと思う).
スカラー倍も同様.
けど,x+y=1には一次元のユークリッド空間Eが付随しているのあって
Eには「普通の意味での距離」があるから
「(0,1)から(1,0)」にはベクトル(1,-1)が付随して
このベクトルの長さは(√2)となる.
つまり,アフィン空間x+y=1には計量が存在し,
(0,1)から(1,0)までの「長さ」は(√2)となる.

{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}については省略.
これが分からないのは,かなり問題があります.
何も難しいことはないのでがんばってください.
#というか・・・これが分からないということは
#何を書いても誤解されるということかいな・・・・

この回答への補足

いろいろご回答ありがとう御座いました。

本当に心苦しいんですが・・・
今までご教示下さった事をノートに纏めているのですが、
一点だけわからない点が出てきました。

ベクトル空間は自然にアフィン空間であるという点なのですが、
ベクトル空間の対象は線形(原点を通る)だと思います。例えば一次関数は線形ではありませんよね。
ここで、ベクトル空間の対象外である一次関数はアフィン空間の対象であるのになぜベクトル空間は自然にアフィン空間なのでしょうか?

アフィン空間はベクトル空間を一般化という事は、アフィン空間はベクトル空間の上位集合?と感じたのですが・・・

補足日時:2009/11/05 20:53
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>もっと定義を大事にしましょう.
>定義をみて「ふーーん」で終わらせてませんか?
>自分で例を作ったりしてないですよね
すべて当てはまって下ります・・・正します。
もっと定義をしっかり理解することに努めます。

加法・スカラー倍についてと計量が存在することを同一視しておりました。ぜんぜん理解できてなかったです・・・ご回答の内容で、理解できました。ありがとうございます。

{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}についても理解できました。
グラフを書いたらわかりました。
{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}
e1=(1,0)でe2=(0,1)なので、a1(1,0)+a2(0,1)→(a1,a2)
{(a1,a2) | a1+a2=1}
a1=x,a2=yとすると
{(x,y) | x+y=1}
情けないです・・・

e1=(1,1), e2=(0,1)も同様に
{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}
{(a1,1) | a1+a2=1}
{(x,1) | x+1=1}
{(x,1) | y=1}

すみませんでしたm(__)m

お礼日時:2009/11/02 21:54

>少し考えたのですが、ベクトル空間ってそんなに滅多に存在しない空間なのでしょうか?


>3次元ユークリッド空間なんかはとても身近なベクトル空間だと思うのですが・・・

身近なものがすべて?
近くにあるものは特異なものでしかない,もしくは
ことさら都合のよい特異なものは
目立つからたくさんあるように見える
という可能性は考慮外?
たとえば,円周はベクトル空間ではないし,
y=x^2だってベクトル空間じゃあない.
ユークリッド空間に埋め込めない空間なんてものも
たくさんある.

ベクトル空間てのは性質がよくて便利だから,
空間をなんとかしてベクトル空間で表現できないかと考える.
それの代表格がいわゆる「一次近似」であり
接線であり,接平面というもの.

>affine空間は工学的な実用の面で極めて有用なのですね。
・・・これはほかの方も
何度も何度もすでに指摘してたでしょう??

>ベクトル空間は任意の一次結合について閉じていなければなりませんよね。

ベクトル空間なんだから,いわゆる一次結合で
「外にはみ出さない」のは当然.

>そして、アフィン空間は一次結合の係数和が1の場合だけ閉じていれば良いと過去のQAに記載されていたもので・・・
>アフィン空間の一次結合の係数和が1の場合はベクトル空間と同じであると認識しておりました。係数和は1ですよね?

ちがーーう.まったくちがーう.
どこをどうやったらこんな誤解ができるのですか?
ベクトル空間の部分集合で
係数の和が1になるような一次結合で表されるものが
アフィン空間になるということ.
式で書けば,v1,...vnが一次独立なベクトルだとすれば
{a1v1+a2v2+・・・+anvn | a1+a2+・・・an=1}
がアフィン空間になるということ.
それ以上でもそれ以下でもない.
#これをアフィン空間の定義だとみなしても問題はないけど
#wikipediaを例に出してきたのだから,その定義を拠り所にすべき

そもそも「一次結合の係数和が1の場合だけ閉じる」って何ですか?
何について閉じてるのですか?
そもそもアフィン空間の一次結合ってのは何ですか?
アフィン空間ってのには
原則的に和もスカラー倍も存在しません.
定義でもそうなってるでしょう?

>e1=(1,0), e2=(0,1)とすれば、{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}という集合は x+y=1を表すというのが良くわからないのですが・・・

これは高校生か中学生レベルです.
{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}
= {(a1,a2) | a1+a2=1}
= {(x,y) | x+y=1}
でしょう?
これはx+y=1のグラフのことです.

>ある集合→(位相を入れる)→位相空間→(ノルム・内積を定義)→距離空間

そもそも位相空間に「ノルム・内積」が入る?
ノルム・内積ってのはベクトルがないとだめでしょう?
だから,流れとしては

集合→(無条件,任意の集合は位相空間になれる)→
位相空間→(ある条件)→距離空間

くらいしかいえないの.
位相空間がどういう場合に距離空間になるかというのは
距離付け可能性の問題とか呼ばれる大問題で
分離公理とかかなりいろいろなことが必要になる.

ベクトル空間はこれとは別の流れになる.
集合→(何かの条件)→ベクトル空間→(ノルム・内積が入る)→距離空間
こんな感じしかいえない.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

>ちがーーう.まったくちがーう.
>どこをどうやったらこんな誤解ができるのですか?
>ベクトル空間の部分集合で
>係数の和が1になるような一次結合で表されるものが
>アフィン空間になるということ.
理解しました。
以前の、QAでアフィン空間は、係数の和が1である場合にだけ閉じていれば良い。という説明がありまして・・・
ベクトル空間は任意の一次結合について閉じていることは理解していたので、アフィン空間の一次結合の係数和が1の時はアフィン空間とベクトル空間が同じであると考えていたのです・・・この考えが間違いの原因です。


>そもそも「一次結合の係数和が1の場合だけ閉じる」って何ですか?
>何について閉じてるのですか?
>そもそもアフィン空間の一次結合ってのは何ですか?
>アフィン空間ってのには
>原則的に和もスカラー倍も存在しません.
>定義でもそうなってるでしょう?
以前別の方から頂いた回答で、アフィン空間も計量を持つことは出来る
とありましたので、加法やスカラー倍は存在すると思っていました。

>これは高校生か中学生レベルです.
>{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}・・・(1)
>= {(a1,a2) | a1+a2=1}・・・(2)
>= {(x,y) | x+y=1}・・・(3)
>でしょう?
>これはx+y=1のグラフのことです.
情けないのですが、(1)式が(2)式になる事と(2)式が(3)式になることがわからないんです・・・本当にすいませんm(__)m

補足日時:2009/10/30 14:29
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まずは定義をきちんと理解すること.



アフィン空間てのはベクトル空間とは関係はあるけども別物です.
空間の二点を取ると,ベクトルが一個対応して
それが特定の規則を満たす場合に,
その空間をアフィン空間というのです.
それ以上でもそれ以下でもありません.
wikipediaの定義はそうなってるでしょう?
#なお,wikipediaとwikiはまったくの別物
#wikipediaのつもりでwikiと書くのは大間違い
#wikiとはある種のソフトの総称であり
#wikipediaはmedaiwikiというwikiソフトの一種で構築されている
#サイトの一つのこと

ベクトル空間は自然にアフィン空間だけども
アフィン空間が何もせずにベクトル空間になることはない.
アフィン空間をベクトル空間とみるということは
「原点を決めて固定する」ということです.
たとえば,アフィン空間「x+y=1」をベクトル空間と見るには
たとえば原点として(0,1)を固定してしまうことです.
#別に(2,-1)を原点にしてもいい.

>ある集合→(ベクトルを定義)→ベクトル空間→(位相を入れる)→位相空間→(ノルム・内積を定義)→距離空間

こんなイメージは即刻捨てましょう.百害あって一利なし.
なんでこんなイメージができたんだい?

>アフィン空間がベクトル空間となるとは、一次結合の係数和が1の時という認識はOKでしょうか?

まったく違います.
ベクトル空間の部分集合で
一次結合の係数の和が0になるものが
アフィン空間(の一例)になるということ.
きちんとこれがアフィン空間の定義を満たすことを証明できますか.
たとえば,e1=(1,0), e2=(0,1)
としたととき
{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}
という集合は,中学校風に書けば x+y=1 であり,
これはアフィン空間であるということは前にも指摘しました.
e1=(1,1), e2=(0,1)とすれば
{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}
という集合は,中学校風に書けば y=1 となるというわけ.


>ベクトルの定義はそれぞれの集合で任意に行う事が出来るという認識でOKでしょうか?

まったくだめ.
ベクトル空間ってのは
数学で扱う空間の中でも特別に扱いやすいもので,
ベクトルが定義できる集合ってのはきわめて特異.
めったにベクトル空間なんて存在しませんし,
集合に任意にベクトルの定義を行うことなんかできません.

==============================
前の質問の回答も一緒にしてしまおう
affine空間ってのは,Euclid空間とは別であるが
理論的には別にあってもなくてもかまわない.
研究対象としては袋小路なんだし.
けど,工学的な実用の面ではきわめて有用である.
そういう意味では「Euclid空間」ではうまく扱えないから
affine空間で考える.どういうことかというと
affine空間で考えると,平行移動も行列でかけてきわめて楽なんです.
平行移動・線型変換が一緒に扱えるってことが利点です.

この回答への補足

追加で質問させて下さい。

少し考えたのですが、ベクトル空間ってそんなに滅多に存在しない空間なのでしょうか?
3次元ユークリッド空間なんかはとても身近なベクトル空間だと思うのですが・・・

補足日時:2009/10/29 20:45
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この回答へのお礼

いつもご回答本当にありがとうございます。

なるほど!!
affine空間は工学的な実用の面で極めて有用なのですね。
平行移動・線型変換が一緒に行列で表せるという事が利点という事で納得しました。大変わかりやすい説明ありがとう御座います。

>ベクトル空間の部分集合で
>一次結合の係数の和が0になるものが
>アフィン空間(の一例)になるということ.
ベクトル空間は任意の一次結合について閉じていなければなりませんよね。
そして、アフィン空間は一次結合の係数和が1の場合だけ閉じていれば良いと過去のQAに記載されていたもので・・・
アフィン空間の一次結合の係数和が1の場合はベクトル空間と同じであると認識しておりました。係数和は1ですよね?
http://okwave.jp/qa4747075.html

e1=(1,0), e2=(0,1)とすれば、{a1e1+a2e2 | a1+a2=1}という集合は x+y=1を表すというのが良くわからないのですが・・・
もう少し詳しく教えて頂けないでしょうか?
線形代数の参考書の基底の項を読んでみたのですがよくわかりませんでした・・・



ベクトルが定義できる集合が極めて特異であり、ベクトル空間はめったに存在しないのですね。知らなかったです。かなりありふれた空間だと思っておりました。

ある集合→(位相を入れる)→位相空間→(ノルム・内積を定義)→距離空間
はイメージ的ににはOKなんでしょうか?

wikiとwikipediaはまったく別物だったのですが、wikipediaのつもりでwikiとしておりました。以後、改めます。ご指摘ありがとう御座います。

お礼日時:2009/10/28 12:03

アフィン空間はベクトル空間を一般化したものと考えることができます. ですので, ベクトル空間は必ずアフィン空間です. 逆に, アフィン空間は必ずしもベクトル空間ではありません.


そして, あなたの
「ある集合→(ベクトルを定義)→ベクトル空間→(位相を入れる)→位相空間→(ノルム・内積を定義)→距離空間」
というイメージも正しくありません. 本当は
ある集合→(位相を入れる)→位相空間→(ノルム・内積を定義)→距離空間
とするべきところです (内積を導入すれば直ちに距離空間になるかどうかは議論のあるところのはずだがとりあえず無視). 距離空間や位相空間は, 必ずしもベクトル空間である必要はありません.
「ある集合」と「位相空間」の間に (本来は無関係な) 「ベクトル空間」を入れてしまったがために, アフィン空間が外れてしまったのではないでしょうか.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど、アフィン空間はベクトル空間を一般化したものでベクトル空間は必ずアフィン空間なのですか。
アフィン空間がベクトル空間となるとは、一次結合の係数和が1の時という認識はOKでしょうか?

ある集合→(位相を入れる)→位相空間→(ノルム・内積を定義)→距離空間で理解できました。
ベクトルの定義はそれぞれの集合で任意に行う事が出来るという認識でOKでしょうか?

お礼日時:2009/10/27 16:29

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ググって見るとユークリッド空間から何々を取除いたものとか線形空間の擬似空間みたいなものとかよく意味が分かりません。

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(i) (a+b)+c=a+(b+c)
(ii) a+b=b+a
(iii) ∀x∈Vに対して,x+0=xなる元0∈Vが存在する。
(iv) ∀x∈Vに対して,x+y=0となる元y∈Vが存在する。
(v) c(a+b)=ca+cb (c∈F)
(vi) (c+d)a=ca+da (c,d∈F)
(vii) (cd)a=c(da)
(viii) 1a=a
に何の条件を付け加えればアフィン空間になるのでしょうか?


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Aベストアンサー

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それを見たんだろうか・・・

>アフィン空間の定義を簡潔に言うとどんな線形空間の事?
そもそも
アフィン空間は線形空間ではないわけです.
あなたが例にあげてる空間はアフィン空間だけども
線形空間ではないでしょう?

一般的には
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というような言い方をしますが
たいていの場合はVが自明だったりするので省略しますね.

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というのは,Wikipediaのをちょっと表記を変えて
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「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



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定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
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A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
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(cの転置)Ac<0
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(cの転置)Ac>0
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*******************************************
以上のようだそうです.

積分といえば単純に体積を求めたり、面積を求めたりするもの、と考えている人が少なからずいると思いますが、それだけではありません。高校の最後の方で学んでいるはずですが、道のりや速さなどありとあらゆるものを計算することもできます。

一言で言えば、積分とは「(無限小に)細かくわけて足し算すること。」に他なりません。

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ということなのですが、これで質問の回答になっているでしょうか…。

以下、(Fx,Fy)が"最大の勾配の方向"を与える理由を書きます。

F(x,y)を全微分すれば、
  dF = Fxdx + Fydy = (Fx,Fy)・(dx,dy)
よって,(dx,dy)が(Fx,Fy)と同一方向のとき dF は最大,すなわち (Fx,Fy) は"最大の勾配の方向"を与える.

イメージとしては次のような感じです。
F(x,y) = ax (x方向に傾いた板)では、(Fx,Fy) = (a,0) でx方向を向くベクトル。
F(x,y) = by (y方向に傾いた板)では、(Fx,Fy) = (0,b) でy方向を向くベクトル。
F(x,y) = ax+by (x方向とy方向の傾きを持つ板)では、(Fx,Fy) = (a,b) で斜面の方向を向くベクトル。(ノートか何かを傾けて確認してみるといいかもしれません)
微分可能な曲面は局所的には平面とみなせるから、(Fx,Fy) はその点での"最大の勾配の方向"を与えます。

ところで、ベクトル解析では(Fx,Fy)というベクトルを、grad F とか、∇F と書くのですが、ご存知ないでしょうか…。
もしご存知ないなら、私の説明は分かりにくいかもしれません。
参考までにwikipediaのURLの載せておきます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D

>>斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。
>ここがよく分かりません。Fx=x-y平面でx方向のみ移動させた時のZの増加率になりますよね。何故これが法線ベクトルのx方向になるかが分かりません。

ここで言ったのは、(Fx,Fy)というベクトルが、"最大の勾配の方向"を与えるということです。
つまり、斜面にボールを置いたとき、-(Fx,Fy)の方向に転がるということです。
そして、"最大の勾配の方向"は等高線と垂直なはずだから、(Fx,Fy)は等高線の法線と同じ方...続きを読む

Q固有値、固有ベクトル、対角化...何のため?

私は文系出身の32歳会社員です。

ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと
独学で最近始めました。

そこで...
本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが...

(1)何のために固有値を求めるのでしょうか?
(2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか?
(3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか?

回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。
例)
・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。
・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。
・意味はない!目的はない!ただ数学として突き詰めているだけだ!
...などなど

あっ、でも急を要している訳ではないので
もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は
お時間のある方はご回答いただければ幸いです。

ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べる基礎数学~線形代数・微分積分~です。
やっと線形代数が終わって、微分積分に入ろうというところで、ふと疑問を持ってしまいました...(~~;

本当に漠然とした質問で恐縮ですが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

私は文系出身の32歳会社員です。

ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと
独学で最近始めました。

そこで...
本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが...

(1)何のために固有値を求めるのでしょうか?
(2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか?
(3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか?

回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。
例)
・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。
・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっ...続きを読む

Aベストアンサー

行列を 1個固定して考えてみます.
この行列は何かよくわからないんですが線形変換を表します.
たいていのベクトルはこの線形変換によって変な方向を向いてしまうんですが, まれに方向が変わらず長さだけが変わるベクトルがあります.
このように「長さだけが変わるベクトル」がこの線形変換 (ひいては行列) の固有ベクトルとなります. で, 長さの変化率が固有値.

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Qブロック線図の簡略化について。 伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。 写真の

ブロック線図の簡略化について。

伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。
写真の問題で答えは下に書いてありますが、どのようにして導けるのか分かりません。

基本的な縦続や並列、フィードバックや加え合わせ点の移動などは理解しています。

ご教授お願いします。

Aベストアンサー

簡略化の過程を添付図で説明します。

 まず(a)から(b)へ
G2の入力信号G2_inはG1の出力とG3の出力が加算されてますのでこれをyとxを使った式で表しますと、

   G2_in=xG3+(x-yH)G1   (1)

この式を書き直し変形して

   G2_in=x(G1+G3)-yG1H   (2)

と表されます。
 この式(2)をもとにブロック図(a)を書き直すと(b)のように書き直せます。
 それを(c)のように書き直せます。(c)から先は簡単なので省略します。


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