試行回数を増やせば誤差は減りますか?

Question

お世話になっています。

現在振り子を用いて重力加速度を求める実験をしているのですが、
実験結果の考察でどのようにしたら誤差を少なく出来るかを考えるのに苦労しています。
私は統計を勉強したことがないのですが、ネットで調べて
・実験結果の標準偏差を誤差とする
・T=2π√(l/g)より、仮にT又はlの誤差を0とおき、各成分のgの誤差への寄与率を求める
とするのがいいようだということはわかりました(用語を間違っているかもしれませんが)。

さて、ここでlの誤差はlを長くすれば相対的に誤差が小さくなるのではないか(人間が物差しで長さを計る場合)と予想できました。
しかしTの誤差(ストップウォッチで計測)を減らす方法がわかりません。
試行回数を増やせばその平均が真の値に近づくことは感覚的にわかるのですが、理論的にはそうなるのでしょうか?
そしてTの誤差を減らしたい場合試行回数を増やせばいい、と言えるのでしょうか?
よろしくお願いします。

nitho_t · Accepted Answer

誤差には一般的に
１）実験方法に内在する系統的な誤差
２）ランダムな誤差
の2種類があります。

今回の時間計測で言えば
あ）人間が振り子の周期を計測する際の周期の真の終端とそれをストップウオッチに入力する際の系統的なずれ（x）
い）測定各回で異なるランダムなその他の誤差（yn）
が相当すると思います。
※注意
時間計測に関する誤差はxだけではなく、ynにも含まれます。

あ）については周期の終端からのずれですので真の周期をTとすれば
case a)1周期で計測する場合
Ta=T+x+ya
で、case b)10周期で計測する場合
Tb=10*T+x+yb
になります。
ya,ybの大きさはランダムですが真の測定値に対して小さいと仮定できるので（もしこの仮定が成立しないと測定自体に意味がなくなる）
それぞれの周期は
case a) Ta
case b) T+(x+yb)/10
となり、bの方が誤差が小さくなることが期待できます。実際にはya,yb依存ですが。（この場合空気抵抗や摩擦による減衰を無視しています。）

試行回数を増やすと言うことは
case c)1周期測定を試行回数1回
Tc=T+x+yc
case d)1周期測定を試行回数10回
Td=(sum(T+x+yn)(n=1:10))/10
  =T+x+(sum(yn)(n=1:10))/10
ynは正負を含むランダムな値（で近似できるという仮定）なのでTdの方が真の値に近いことが期待できます。(sum(A)(n=1:10)はn回目の試行におけるAの1回目から10回目までの和になります。）

従って前提条件の成立する範囲内で（空気抵抗や摩擦による減衰による影響が誤差あ）より充分小さい）
xを緩和するために測定周期を増やし、yを緩和するために試行回数を増やします。

ninoue · Answer

振り子の振り回数を多くして測定するのが一番早いように思われます。

例えば、振り子の長さは1Mに対し1MMの精度:1/1000、それと同程度の精度とすると50周期を1/10sec単位で計れば良いのではと思われます。

試行回数を増やせば周期測定の誤差は#1,#2で回答されているように減少するはずです。
あるいは同一精度で50周期を10周期程度の時間測定とすることも出来ます。

その他に秋月電子通商のマイコンボードとフォトトランジスタ/"ダイオードのボードを組合わせて周期をmsオーダーで測るのもあるのかなと思いました。
それだと長さの方も0.1mm単位で測る等の必要も出てきそうですし、0.1%の精度で良ければストップウォッチで十分のようです。

以上、当たり前の話で余り参考にならいようですが...

mintarou1 · Answer

＞これを、何度も繰り返すことは、誤差が０に近づくことになるはずです。
 　この部分をより定量的に説明することは可能でしょうか?

厳密には、正しい振り子の上がった時間と、ＳＷの押された時間のずれのデーターを取るのがベストだと思いますが、それが難しいの場合は以下の方法で、擬似的に証明できると思います。

まず、ストップウォッチ（以下ＳＷ）を用意します。
最初、ＳＷのスタートボタンを押します。ＳＷの示す時間をにらんで、１５秒を示したとき、ストップボタンを押します。この時のＳＷの表示が仮に、１５．３５秒だったとします。
（これが、振り子の周期のはじめの時間を測定する事に相当します。）

とりあえず、これで、リセットして、０.００秒に戻します。

再度、ＳＷのスタートボタンを押します。同様に３０秒を示したとき、
ストップボタンを押します。この時のＳＷの表示の時間が仮に、３０．４５秒だったとします。
（これが、振り子の周期の終わりの時間を測定する事に相当します。）

この時間の差を求めます。
３０．４５ －　１５．３５　＝　１５．１０秒になります。

この作業を繰り返し、数多くの時間の差を求めます。
標準偏差の計算をした方がいいでしょう。

ここで、データーを多く集めれば（試行回数を増やせば）標準偏差の中心の山が、１５秒に近づくことが分かれば、定量的な証明になると思います。

それから、振り子の紐を長くするのが、紐の長さの誤差を小さくすると書いていますが、長さ測定器の精度を上げるのも、一つの方法だと思いますよ。

mintarou1 · Answer

その方法でいいと思いますね。

振り子の上部（止まった所）でストップウォッチ(以下ＳＷ）を押して、何周期か後にまた、上部でＳＷを押す場合を考えます。
ＳＷを押すタイミングは、目で見て、脳でＳＷを押す指令を出して、押すので、必ず、コンマ何秒かのずれが生じます。
そのずれは、スタート時と、ストップ時に発生するので、誤差が打ち消す関係になります。
これを、何度も繰り返すことは、誤差が０に近づくことになるはずです。

本当は、何周期も振らせてから時間を測定したほうが、誤差が小さくなるはずですが、空気抵抗の問題も大きくなるでしょうから、その兼ね合いで、周期の回数は決めたほうがいいでしょうね。

それから、T=2π√(l/g)は、振り子の周期の式であることも説明したほうがいいと思いますけど・・・・

試行回数を増やせば誤差は減りますか?

誤差には一般的に

振り子の振り回数を多くして測定するのが一番早いように思われます。

＞これを、何度も繰り返すことは、誤差が０に近づくことになるはずです。

その方法でいいと思いますね。

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　＞これを、何度も繰り返すことは、誤差が０に近づくことになるはずです。