ヤコビアンの解りやすい説明が書いてある参考書か、よければ此処で教えてください。

大学の微分積分を独学で勉強しているのですが、どうも、ヤコビアンがよくわかりません。今後、統計学も学ぼうと思っているのですが、どうも、線形変換、変数変換の理解ができていないと大きくつまずくような気がするのです。
特に、同時分布において確率密度関数から確率を求める場合、かならず2重積分が必要になるし、相関係数とか共分散を求める場合にも関係するのではないのかと思います。

特に、わからないと感じるのは全微分の逆と考えられるのか？とか、置換積分のように逆に計算できるのかなど今ひとつ直観的にわからない点です。どなたか良いアドバイスお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2009/12/14 17:57

　#3，4です。

画像が見にくかったと思います。ここの画像アップの扱いは難しいですね・・・。

＞上の説明ではj^-1だが2重積分においては|j|になるのか？・・・

　混乱しやすい所で、わかりにくい説明をして御免なさい。1変数の場合、置換積分は、

　　∫Ｆ(x)・dx＝∫Ｆ(f(u))・df/du・du

になりますが（x＝f(u)）、df/duが、1変数の場合のdetＪになるのは、おわかりだと思います。このとき考えている変換は、x→uではなくて、u→xです。なので、前回の記述では変換を、

＞u＝f(x，y)，v＝g(x，y)

ではなくて、

　　x＝f(u，v)，y＝g(u，v)

と書けば良かったと思います。これのヤコビ行列をＪとすれば、

　　∬Ｆ(x，y)・dxdy＝∬Ｆ(f(u，v)，g(u，v))・detＪ・dudv

となり、ご紹介したリンクの直感的意味も、納得頂けると思います。

　以下、余談です。
　線形代数を自力で学ぶ場合、線形代数における行列式論の「位置付け」がわかりにくいかも知れません。ふつうに言う線形代数の内容は、一部中途半端な面があります。というのは、それはテンソル（多重線形代数）を含まない事になっているからです。しかし、行列式の正体はじつはテンソルです。でも、ふつうの線形代数は何よりも、連立一次方程式の解法から始まったので、「線形代数の道具としての」行列式を導入せざる得ない事情もあります。
　線形代数における行列式論は、テンソルからの（そうだと言わない）密輸入という事になり、線形代数の理論構成上は、非常に「浮いた立場」にいます。なので、行列式の定義などでは、「これはこういうものなのだ」とある程度割り切って、読む必要が生じます。こういう事は大学に行けば、たぶん講義の余談として教えてもらえるのだと想像しますが、そこが独学の辛いところです。

　最後に、ヤコビアンの計算で固有値を持ち出す理由ですが、次の定理が理由と思います。

　　行列式の値は、その行列の固有値の積になる．

　手計算を行う限り上記は、余り便利とは思えませんが、理論的にはこうなります。直接行列式を展開するのと、固有値を計算するのは、どっちもどっちという場合も多いですが、仰る例題は違うのかも知れまんね。例題を教えて頂ければ、お応えできると思います。

No.8 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/12/20 19:13

直交座標（ｘ、ｙ）から直交座標（ｒ、θ）への変数変換を考える。

ｘ＝Φ（ｒ、θ）＝ｒcosθ
ｙ＝Ψ（ｒ、θ）＝ｒsinθ

の局座標変換を考える。

（M1)
ｘ１＝Φ１（ｒ、θ）
ｙ１＝Ψ１（ｒ、θ）

（M2)
ｘ２＝Φ１（ｒ＋ｄｒ、θ）＝Φ１（ｒ、θ）＋（∂Φ/∂ｒ）dｒ
ｙ２＝Ψ１（ｒ＋ｄｒ、θ）＝Ψ１（ｒ、θ）＋（∂Ψ/∂ｒ）ｄｒ　

（M3)
ｘ３＝Φ１（ｒ＋ｄｒ、θ＋ｄθ）
＝Φ１（ｒ、θ）＋（∂Φ/∂ｒ）dｒ＋（∂Φ/∂θ）dθ

ｙ３＝Ψ１（ｒ＋ｄｒ、θ＋ｄθ）
＝Ψ１（ｒ、θ）＋　（∂Ψ/∂ｒ）dｒ＋（∂Ψ/∂θ）dθ

（M4)
ｘ４＝Φ１（ｒ、θ＋ｄθ）＝Φ１（ｒ、θ）＋（∂Φ/∂θ）dθ
ｙ４＝Ψ１（ｒ、θ＋ｄθ）＝Ψ１（ｒ、θ）＋（∂Ψ/∂θ）ｄθ　

一方平行四辺形の面積要素の面積は
ｄσ＝｜ｘ１（ｙ２－ｙ３）－ｙ１（ｘ２－ｘ３）＋（ｘ２ｙ３－ｘ３ｙ２）｜
とあらわせるので、ここに、上記のｘ１、ｘ２、ｘ３、ｘ４
ｙ１、ｙ２、ｙ３、ｙ４の値を代入する。

＝｜（∂Φ/∂ｒ）（∂Ψ/∂θ）-（∂Φ/∂θ）（∂Ψ/∂ｒ）｜
ｄｒｄθ

＝｜J|ｄｒｄθ

No.7 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/12/18 22:09

直交座標（ｘ、ｙ）から直交座標（ｒ、θ）への変数変換を考える。

ｘ＝Φ（ｒ、θ）＝ｒcosθ
ｙ＝Ψ（ｒ、θ）＝ｒsinθ

の局座標変換を考える。

ｄｘ＝（∂Φ/∂ｒ）ｄｒ＋（∂Φ/∂θ）dθ
ｄｙ＝（∂Ψ/∂ｒ）ｄｒ＋（∂Φ/∂θ）ｄθ

と表現できる。


｜ｄｘ｜＝｜（∂Φ/∂ｒ）　　（∂Φ/∂θ）｜｜dｒ ｜
｜ｄｙ｜ 　｜（∂Ψ/∂ｒ）　　（∂Φ/∂θ）｜｜ｄθ｜


　　　　＝｜　cosθ　　　　　　-rsinθ　　｜｜dｒ　｜
　　　　 ｜　sinθ　　　　　　rcosθ 　　｜｜ｄθ｜

　　　　＝｜　　　a 　　　　 　　b　 　　　｜｜dｒ　｜
　　　　 ｜　　　ｃ　　　　　　 　ｄ　 　　　｜｜ｄθ｜


＝｜　　　J　(関数行列式）　　｜｜dｒ　｜
｜　　　　　　　　　　　　 　　　｜｜ｄθ｜


となる。

ところで、

ｄｘ＝（１，０）、ｄｙ＝（０，１）と単位Vectorにすると
（ｄｘ）ｘ（ｄｙ）＝｜　１　　０　｜
　　　　　　　　　｜　０　　１　｜ｄｘｄｙ
　　　　　　　＝ｄｘｄｙ

となる。

一方ベクトルｄｒ、ベクトルｄθは変数変換によって写像変換Jを受ける。


ｄｒ＝｜　a　　ｂ　｜
　　　｜　ｃ　　ｄ　｜ｄｘ

　＝｜　a　　ｂ　｜| 1 |
　　　｜　ｃ　　ｄ　｜| 0 |

＝｜　a　 　｜
　　　｜　ｃ 　｜
　　　

ｄθ＝｜　a　　ｂ　｜
　　 　｜　ｃ　　ｄ　｜ｄy

　＝｜　a　　ｂ　｜| 0 |
　 　　｜　ｃ　　ｄ　｜| 1 |

＝｜　b　 　｜
　　　｜　d 　｜
　　　

drxdθ＝（ad－ｂｃ）ｄｒｄθ
　　　　＝ｒ・ｄｒｄθ
=| J |drdθ

No.5 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/12/09 21:26

直交座標での、面積要素は

Δσ＝Δｘ・Δｙ・・・・・（１）であたえらる。
=(横の長さ）ｘ（縦の長さ）
＝（Ｌディメンジョン）ｘ（Ｌディメンジョン）
＝Ｌ＾２ディメンジョン
＝面積


一方極座標での面積要素は
Δσ＝rΔr・Δφ・・・・・（２）で与えられる。
しかし、これではわかりにくい。正しくは

＝Δr・（rΔφ）
＝（Ｌディメンジョン）・（Ｌディメンジョン・ラディアン）
＝（Ｌディメンジョン）・（Ｌディメンジョン）
＝Ｌ＾２
＝面積

なので、二つの座標の面積要素の間には
次の関係が成り立つ

Δr・Δφ＝（Δｘ・Δｙ）/r・・・（３）
である。つまり”r”は二つの面積要素の
倍率の意味を持つ。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
直交座標系と極座標系の次元をあわせると、
Δr・Δφ＝（Δｘ・Δｙ）/r
となり、dx・dyをdr・dφのみでそのまま置き換えられないんですね。
この考え方は、一般化した変数変換においても通用するのでしょうか？
できれば、そちらの方も、この考え方で表現していただければと思います。

お礼日時：2009/12/14 06:12

No.4 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2009/12/09 18:16

　#3です。

どうにも画像がみにくいので、再アップします。

No.3 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2009/12/09 18:06

　

http://oshiete.nikkeibp.co.jp/qa5502090.html
で、全微分について質問された方ですよね？。全微分については、すでにわかっているものとして話を進めます。なお自分は、統計，確率は全然詳しくありません。

＞（ヤコビアンが）全微分の逆と考えられるのか？とか、置換積分のように逆に計算できるのかなど今ひとつ直観的にわからない点・・・

　誰もが一度は通る途だと思いますが、ふつうは「意味を考えるより馴れろ！」、で終わってしまう気もします。

　個人的意見ですが、微積と線形代数（線形変換）は腐れ縁です。全微分を理解されたなら、それが関数の1点での局所線形化（1次関数化）だという事は了解できると思います。
　例えばz＝f(x，y)において、1点(x0，y0，z0)でfの全微分をとれば、式(1)となります。∂f/∂x，∂f/∂yは、(x0，y0)での偏微分係数です。
　式(1)でdx，dyは微小なので、dzも微小です。しかしdx，dyを、無制限に延長したものを（勝手に）想定する事は、可能です。(x0，y0，z0)をfの1点として、式(2)のようにおけば、(1)は、式(3)となります。(2)においてdx，dy，dzは、任意の(x，y，z)の関数なので、もはや微小ではありません。そして(3)の左辺を右辺に移項すれば、接平面の方程式の標準形が得られ、(x0，y0，z0)は接平面の接点です。

なぜ微分するかと言えば、1次関数は「計算できる」からで、1次関数を組織的に扱うのが線形代数です。従って、どんなにぐにゃぐにゃの関数も、関数を微分→1点での線形化（1次関数化）→線形代数に載っけてベクトルと行列で扱う、という手順になります。

　2変数の一次関数z＝ax＋byは、行列記法で書くと、式(4)です。なので、式(5)のような一次変換（線形変換）は、(4)のような一次関数の素直な拡張と言えます。

　変数変換で現れる関数は、u＝f(x，y)，v＝g(x，y)の類です。(u，v)を微分して線形化します。fとgについて、それぞれ(1)が成り立つので、結果は式(6)です。これは(5)と同じ形をしているので(2)の考えを使うと、(6)は微分の結果現れた、1次関数だと言えます。このとき(6)右辺の行列をヤコビ行列と言いますが（Ｊとします）、ヤコビ行列を全微分係数とみなすのは、正しい考えだと思います。関数がベクトル(u，v)なので、係数をスカラーでは表せなかった、というだけです。

　いま(x，y)→(u，v)という関数を考えていますが、これの逆関数(u，v)→(x，y)は存在するか？、という問題があります。微分して考えると1次関数(6)なので、これが(dx，dy)について解ければ良いだろう、という話になり、detＪ≠0（|Ｊ|≠0）が必要条件になります。これは1次関数(5)を、(x，y)＝の式に出来るのと同じ条件ですが、行列式detＪの事をヤコビアンと呼ぶ方が多いようです。従って、関数（変換）と逆関数（逆変換）の関係は、式(7)となり、関数のヤコビ行列の逆行列が、逆関数のヤコビ行列で、行列なので当然、detＪ・detＪ^(-1)＝1になります。（y＝axとx＝(1/a)yで、a・1/a＝1と同じ）

　重責分でのヤコビアン意味は、http://homepage1.nifty.com/kumabox/Jacobi_1.htmとhttp://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/150 …がわかりやすい気がします。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
2重積分の変数変換は、原始関数からの線形変換の逆と考えれば良いのですね。あと、微分は関数の1点での局所線形化で全微分の式も、dx,dy,dzもそれぞれ(x-x0)のように長さを自由にすれば、基準点x0を原点と擬制した一次近似式と同じですね。
っていうか、だから線形化かｗ
さらに、線形写像は像を変化させたとき写像がどのように変化するかをy=kxで現すわけだから、du=fxdx+fydy,dv=gxdx+gydy でx,yの変化がu,v上でどのように変化するかを線形代数で表すわけですね。

ただ、ヤコビアンを使って積分計算をする場合に、ヤコビアンの行列式を解いて固有値していますが、これの意味があまりわからないです。
とりあえず、線形代数の知識がかなり不足しているので、もう一度、線形代数の本を読んでみようと思います。
お時間あれば、また、なぜ行列式を解くのか？上の説明ではj^-1だが2重積分においては|j|になるのか？　教えてください。

お礼日時：2009/12/14 07:13

No.2 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/12/09 17:05

直交座標では、面積要素は

Δσ＝Δｘ・Δｙ・・・・・（１）
であたえらる。

一方極座標での面積要素は
Δσ＝rΔr・Δφ・・・・・（２）
で与えられる。

極座標の面積要素は
Δr・Δφ＝（Δｘ・Δｙ）/r・・・（３）
である。つまり”r”は二つの面積要素の
倍率の意味を持つ。

ヤコビヤン（関数行列式）
D=ｒからｒは求まる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど。ただ、何故、Δσ＝rΔr・Δφなのかを知らないので、この関係式から
Δｘ・Δｙ＝rΔr・Δφ　となり
xy座標から極座標へ変換したときの面積要素を同じ大きさに合わせるための倍率の意味をｒが持つのは解ります。

ですが、厳密にはわからず困っています。例えば、全微分の逆となっているのかとか、ここで書かれている極座標形に変換したときに、積分するとなぜ、ｒの調整がないことによって、変数変換を行わない重責分の答えと相違するのかが、直観的に明確にならないので困っているのです。
実際に、極座標へ変数変換した場合の積分と直交座標のまま積分した場合で比べてみるとわかるのかな？
とりあえず問題を解いてみることにします。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/12/09 18:10

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/12/08 14:48

重積分における変数変換ででてくる変換係数のヤコビアンはヤコビ行列式、関数行列式とも呼ばれ、ヤコビ行列の行列式です。

なのでヤコビ行列の定義からしっかり学んでください。

（参考URL）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3% …

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。URL参考に勉強しようと思います。

お礼日時：2009/12/15 07:27