二次関数の場合分けでの不等号に関する質問です。

二次関数の場合分けでの不等号に関する質問です。

aを定数とする。y=x^2-4x+5(0≦x≦a)の最大値?最小値をもとめよ。

という問題の場合分けは
0＜a＜2、2≦a＜4、a=4、4＜aのときとなっています。
これはなぜ一番最初の場合分けが0≦a＜2とならないのでしょうか？
0を含めない理由はなんですか？


また不等号の決め方(≦か＜にする判断)はどのようにしたらいいのでしょうか？??がありましたら教えて下さい

よろしくお願いしますm(__)m

No.5 回答者： lialhyd 回答日時： 2009/12/26 05:17

No4回答者様へ

>0＜a≦2、2≦a≦4、4≦a　でいいんじゃないの。a＝4の時の最大値を求めてみると良い。

これは明らかに間違った回答だと思います。
a=4のときのみ、x=0と4で最大値をとるということをお忘れではないですか？
yの値だけ一緒であればまとめられるわけではないと思うのですが。

もとの問題が「値しかきいていないので」ということであれば、まぁそれでもいいのかなとは思いますが
普通、最大値と最小値をきかれた場合はそのときのxの値も書き添えるものですから、その値が違う場合はやはり別の場合として分類すべきでしょう。
値しか聞いてないから、値が一緒であればまとめてもいいんだ！というのはちょっと高校数学を教える上で関心しない意見ですね。

可笑しなこと、というのであれば
誰の、どの部分がどのようにおかしいのか、書くべきでしょう。
そうでなければ、十分な議論ができず質問者様に正しい情報が返らないと思いますよ。
みんなにとって利益になりません。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/12/25 13:01

可笑しな事を言ってる人がいるからそれを修正しておく。

＞また不等号の決め方(≦か＜にする判断)はどのようにしたらいいのでしょうか？??

f(x)＝x＾2-4x＋5とする。
例えば、0＜a≦2の時の最大値はf(0)＝1。2≦a≦4の時の最大値は、f(a)＝a＾2-4a＋5である。
ところが、分岐点a＝2の時は、共に1となる。
つまり、a＝2の時は同じ値になるから、等号はどちらにつけても(両方につけても)良い。

不等号に関して等号をどこに付けるかについては、(例外を除いて)分類が連続である限り、どこにつけても良い。
従って、分りにくければ、全てにつけて良い。

＞0＜a＜2、2≦a＜4、a=4、4＜aのときとなっています

なんでこんな分類するんだろう？
0＜a≦2、2≦a≦4、4≦a　でいいんじゃないの。a＝4の時の最大値を求めてみると良い。

No.3 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/12/24 19:52

定義域が 0 一点でも関数として成立していないわけではないので、

単純に解答作成者の先入観によるものでしょう。

No.2 回答者： lialhyd 回答日時： 2009/12/24 19:19

a=0のときは、「0≦x≦a」はつまり「0≦x≦0」という意味ですよね。

だから、aに0は含まないと考えるのが普通です。
「0≦x≦0」は「x=0」が定義域と読めなくもないですが、それならこういう不等号を用いた書き方をしないはずですよね。

不等号の決め方にかんして。
たとえば0＜a＜2の部分ですと
最大値がx=0のときで最小値はx=aのときですよね。
これは別にa=2の場合でも同じxの値で最大や最小をとりますのでまとめて0＜a≦2としてもいいわけなのです。

ですが2≦a＜4の部分ですと
最大値がx=0のときで最小値はx=aのときになるのに対して
a=4の場合は最大値がx=0,4のとき、最小値はx=2となってさきほどのものと違うパターンになるのでまとめることができません。
よって2≦a≦4とはできないのです。

No.1 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2009/12/24 19:19

「こんな感じかな？」という程度の回答ですが...

『なぜ一番最初の場合分けが0≦a＜2とならないのでしょうか？』
⇒0を含むことがゆるされるとして、a=0の場合は、題意上定義域というのが存在しない（すなわちx=0の時のyを求めるだけ）となるので、最大値・最小値という議論の対象外になるため。

『不等号の決め方(≦か＜にする判断)はどのようにしたらいいのでしょうか？』
⇒要は最大値と最小値、およびそのときのxの値が一意で表現できる範囲で区分けすることになり、それによって不等号が決まります。
二次関数の場合、最大値、あるいは最小値の候補となるのは、グラフでいうところの頂点の座標位置（この場合x=2の時）か、定義域の端（この場合x=0かx=a）の時になります。この値がどのようになるかによって、すなわちどこが最小または最大になるかで場合分けをすることになります。