マンガでよめる痔のこと・薬のこと

最大値の原理を用いて次の問題を解きたいです。
f(z)=z^2+2のとき、|f(z)|の|z|<=1における最大値、最小値を求めよ。
答えは最大値は3、最小値は1なのですがそこに至れません。どなたか教えてください。
お願いします。

A 回答 (3件)

> 早速の回答有難うございます。

解答によれば、z=cos(t)+i*sin(t)とおくことにより、|f(z)|=√(5+4*cos(2t))となり、これにより最小値と最大値は、1、3となるということですが、|f(z)|がこのような関数になることが理解できません。

これは完全に高校数学レベルの問題。
z^2={cos(t)+i*sin(t)}^2=cos(2t)+i*sin(2t)
|f(z)|=|cos(2t)+i*sin(2t)+2|=√[{cos(2t)+2}^2+{sin(2t)}^2]
後は[]の中を展開するだけ。{cos(2t)}^2+{sin(2t)}^2=1 ですのでcos,sinの2次の項は残りません。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

よくわかりました。虚数の絶対値の計算の方法をすっかり忘れていました。どうも有り難うございます。

お礼日時:2012/01/26 19:40

最大値の原理から、|f(z)|の最大値は領域|z|≦1の境界、つまり|z|=1の中でで最大値をとります。


|z|=1つまり、z=e^(iθ) (0≦θ<2π)におけるz^2+2=|e^(2iθ)+2|の最大値を調べればよいでしょう。

|z|≦1における|f(z)|の最小値はその逆数を考えてみればよいでしょう。
つまり、1/f(z)=1/(z^2+2) について考えてみます。
1/(z^2+2)の特異点はz=±(√2)i であり、これは|z|≦1の領域内にはありません。
1/(z^2+2) は|z|≦1の領域内で正則です。
最大値の原理から|1/(z^2+2)|は領域|z|≦1の境界、つまり|z|=1の中で最大値をとります。
|1/(z^2+2)|が最大となる時、|z^2+2|は最小となります。
|z|=1つまり、z=e^(iθ) (0≦θ<2π)における|z^2+2=e^(2iθ)+2|の最小値を調べればよいでしょう。

この回答への補足

早速の回答有難うございます。解答によれば、z=cos(t)+i*sin(t)とおくことにより、|f(z)|=√(5+4*cos(2t))となり、これにより最小値と最大値は、1、3となるということですが、|f(z)|がこのような関数になることが理解できません。

補足日時:2012/01/26 07:22
    • good
    • 1
この回答へのお礼

良くわかりました。どうも有り難うございます。

お礼日時:2012/02/09 08:15

与式は頂点が(0,2) で下に凸な放物線です。

一方|z|<=1は -1≦z≦1ですね。これをグラフに図示して見て下さい。
そうすると、z=±1で最大値の3を取ることが分りますね。一方、最小値はz=0のときでその値は1ではなく、2ですよ。

この回答への補足

早速の回答有難うございます。解答によれば、z=cos(t)+i*sin(t)とおくことにより、|f(z)|=√(5+4*cos(2t))となり、これにより最小値と最大値は、1、3となるということですが、|f(z)|がこのような関数になることが理解できません。

補足日時:2012/01/26 07:22
    • good
    • 0
この回答へのお礼

複素関数の最大値問題であることを言い忘れました。ですが、ご回答どうも有り難うございます。

お礼日時:2012/02/09 08:24

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q最大値の原理

皆さん、こんばんは。今回も数学に関する質問があります。
とあるレポート課題で、
「次の関数の絶対値の|z|≦1における最大値を求めましょう。
 ・ f(z)=(3z-1)/(z-3)
 ・ f(z)=e^z
(ヒント:最大値の原理を用いてください。)」
とありましたが、ネットで調べましたところ、この「最大値の原理」とは、位相空間の知識がなければ解けないものなのでしょうか。
どなたかアドバイスお願いします。

Aベストアンサー

最大値の原理とは複素関数論にでてくるもので、f(z)が領域Dで正則
のとき、D内に単純閉曲線Cをとると、Cの内部の点の|f(z)|の値は
C上の|f(z)|の最大値以下であるというもので、要するに境界C上で最大
値を取るというものです。
コーシーの積分公式により証明されます。

この問題では原点中心の単位円周上での最大値を考えれば良いのでしょ
う。

位相空間の知識は、開集合、閉集合、領域などが分かれば良い程度で
そんなに気にしなくて良いと思います。

Q複素関数の質問です。

問題の(1)と(2)はこれであっていますか?
(3)と(4)が分からなかったので教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

(1) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とする。
コーシーリーマンの関係式より
ux=vy, uy=-vx-(1)
またf(z~)=u(x,v)-iv(x,y)より
ux=-vy, uy=vx
よってux=uy=vx=vy=0となるので、u(x,y)とv(x,y)は定数となり、f(z)は定数。

(2) |f(z)|=√u^2(x,y)+v^2(x,y)

g(x,y)=|f(z)|=√u^2(x,y)+v^2(x,y)とすると
gx=(ux+uy)/g(x,y)
gy=(vx+vy)/g(x,y)

g(x,y)は定数なので
ux=-uy, vx=-vy
これらと(1)からux=uy=vx=vy=0となるので、u(x,y)とv(x,y)は定数となり、f(z)は定数。

Aベストアンサー

正則の定義)
f(z)は複素平面上の開集合Dで定義され,複素数値をとる関数とする。
f(z)がDの各点で微分可能なとき,f(z)はDで正則であるという。
(a)定数関数Cは正則
..証)定数関数Cは微分可能でその微分はC'=0だからCは正則
(b)f(z),g(z)が両方Dで正則ならば
(b1)f(z)-g(z)は正則
(b2)f(z)*g(z)は正則
..証)f(z)*g(z)は微分可能でその微分は{f(z)*g(z)}'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)だからf(z)*g(z)は正則
(b3)z∈D→f(z)≠0ならば1/f(z)は正則
..証)1/f(z)は微分可能でその微分は{1/f(z)}'=-f'(z)/{f(z)}^2だから1/f(z)は正則

a>0
D={z||z|≦a}
f(z)をDを含むある領域で正則とする
(1){f(z)}~もDで正則とする
f(z)=u+ivとする。
f(z)は正則だから
コーシーリーマンの関係式より
ux=vy,uy=-vx
また{f(z)}~=u-iv
も正則だから
コーシーリーマンの関係式より
ux=-vy,uy=vx
よってux=uy=vx=vy=0となるので,uとvは定数となりf(z)は定数

(2)
|f(z)|=C=定数だから
|f(z)|^2=f(z){f(z)}~=C^2=定数

f(z)=0となるzがあるとき
0=|f(z)|=C
f(z)=0(定数)となる

|z|≦aでf(z)≠0のとき
{f(z)}~=C^2/f(z)
(a)から定数関数C^2は正則
f(z)≠0で(b3)から1/f(z)は正則
(b2)からC^2*1/f(z)=C^2/f(z)は正則
{f(z)}~は|z|≦aで正則だから(1)から
f(z)は定数

(3)
f(z)は有界領域|z|≦aで正則
|z|≦aで|f(z)|は最大値をもつ
f(z)≠定数だから
(最大絶対値の原理)から
|z|<aで|f(z)|が最大値をとることはないから
|z|=aで最大値|f(z)|=Cをとるから
|z|≦aで|f(z)|≦C
C=0ならば
|z|≦aで|f(z)|≦0
|z|≦aで|f(z)|=0
|z|≦aでf(z)=0(定数)となって
f(z)≠定数に矛盾するから
C≠0
C>0

(4)
|z|<aでf(z)≠0
と仮定し
h(z)=1/f(z)
とすると(b3)から
h(z)は有界領域|z|≦aで正則
|z|≦aで|h(z)|は最大値をもつ
h(z)≠定数だから
(最大絶対値の原理)から
|z|<aで|h(z)|が最大値をとることはないから
|z|=aで最大値|h(z)|=|1/f(z)|=1/Cをとるから
|z|≦aで|h(z)|=|1/f(z)|≦1/C
C≦|f(z)|≦C
|f(z)|=C(定数)で(2)から
f(z)=定数となって
f(z)≠定数に矛盾するから
f(z)=0となる|z|<aが存在する

正則の定義)
f(z)は複素平面上の開集合Dで定義され,複素数値をとる関数とする。
f(z)がDの各点で微分可能なとき,f(z)はDで正則であるという。
(a)定数関数Cは正則
..証)定数関数Cは微分可能でその微分はC'=0だからCは正則
(b)f(z),g(z)が両方Dで正則ならば
(b1)f(z)-g(z)は正則
(b2)f(z)*g(z)は正則
..証)f(z)*g(z)は微分可能でその微分は{f(z)*g(z)}'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)だからf(z)*g(z)は正則
(b3)z∈D→f(z)≠0ならば1/f(z)は正則
..証)1/f(z)は微分可能でその微分は{1/f(z)}'=-f'(z)/{f(z)}^2だから1/f(z)は正則...続きを読む

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Qσ集合体の証明

集合体の証明の問題です。

問:Fをσ集合体とするとき、以下を示せ。
(1)Fは集合体である
(2)A1,A2,…,An,…∈F ⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈F
   (i)∩(i=1,∞)Ai∈F
   (ii)lim(n→∞)supAn∈F

(2)の記述がわかりづらいですが、A1から始まる無限大の和集合がFに含まれる、(i)はA1から始まる無限大の積集合である、という意味です。(ii)はn→∞がlimの下にくれば正しい記述になります。


(1)は、集合体であるための定義、
・φ∈F
・A∈F⇒Ac(Aの補集合)∈F
・A,B∈F⇒A∪B∈F
を示せればよいのでしょうか?
そうだとしたら、σ集合体であるということは、
・φ∈F
・A∈F⇒Ac(Aの補集合)∈F
・A1,A2,…,An,…∈F⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈F
ということなので、これらを使って証明していけばいいのでしょうか?

(2)については証明の予想が立ちません…。


わかる方、解説お願いします!

Aベストアンサー

問題は
「Fをσ集合体とする。すなわち
(1)Fは集合体である
(2)A1,A2,…,An,…∈F ⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈F
を満たすとき、以下を示せ。
  (i)∩(i=1,∞)Ai∈F
  (ii)lim(n→∞)supAn∈F 」
というものであると思われます。また
 lim(n→∞)supAn = ∩(i=1,∞)(∪(n=i,∞)An)
ですね。
(i)A1,A2,…,An,…∈F のとき集合体の定義より
 A1c,A2c,…,Anc,…∈F, ∪(i=1,∞)Aic∈F
ドモルガンの法則より
 ∩(i=1,∞)Ai = (∪(i=1,∞)Aic)c∈F

(ii)σ集合体の性質と(i)より明らか。
このサイトで質問するより自分で調べたり考えることをお勧めします。このサイトは「自称専門家」がとんでもない回答をしたりしているのですから。

Q1000本のワインがあって、1つは毒入りです。

1000本のワインがあって、1つは毒入りです。
1滴でも飲むと、10h~20hで死にます。
今から24h以内に、毒ワインを自分のドレイに飲ませることで、判別したい。
これには最低何人のドレイを要するか?




以下がこれに対する僕の回答です。




結論から言うと1000人必要です。


まず0時から検査を開始します。

24時までに終わらせなければなりません。




まず0時にx人がそれぞれで一本検査します。

死ぬのは10~20時ですね
二本目を検査するためには
10時より後に飲まなければなりません(理由はAに書きます)
しかし4時より後に飲んだ場合は24時より後に死ぬ可能性があるため、毒を見逃す可能性があります。

ゆえに10時より後には飲めません。


A、もし10時以内に飲んだ場合
死んだとしても最初に飲んだワインによるものなのか後に飲んだワインによるものかわからないからです。
一本目の死ぬ可能性のある時間帯は10~20時
二本目を例えば9時に飲んだとしたら死ぬ時間帯は19~29時になります。
つまり19~20時に死んだ場合、その死が一本目によるものなのか二本目によるものなのかわからないからです。


ゆえに1人1本しか検査できません。

従って1000本には1000人必要です。





こういう答えがでたんですが、答えは10人なんだそうです…

先生にだされた問題だとか。


どうして10本になるのでしょうか?


困ってます。

1000本のワインがあって、1つは毒入りです。
1滴でも飲むと、10h~20hで死にます。
今から24h以内に、毒ワインを自分のドレイに飲ませることで、判別したい。
これには最低何人のドレイを要するか?




以下がこれに対する僕の回答です。




結論から言うと1000人必要です。


まず0時から検査を開始します。

24時までに終わらせなければなりません。




まず0時にx人がそれぞれで一本検査します。

死ぬのは10~20時ですね
二本目を検査するためには
10時より後に飲まなければ...続きを読む

Aベストアンサー

ついでに書いておこうかな(^^)
2進数                 10進数
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1   1番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0   2番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1   3番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0   4番目のワイン
 ・・・【中略】・・・
 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1  999番目のワイン
 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1,000番目のワイン
奴隷は上に1があればそれを飲む
 A B C D E F G H I J  10人

Qe^iθの大きさ

今日読んだ本に

絶対値(e^iθ) = √cosθ^2+sinθ^2 = 1

と書いてありました。
オイラーの公式はe^iθ=cosθ+i sinθですよね

絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1

とド・モアブルの定理を使った式でもできているんですか?
上の式も下の式もよくわかりません
どなたか両方詳しく教えて下さい。

Aベストアンサー

絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1

この部分は、実数rに対しては、|r|=√(r^2)となるのですが、
複素数cのたいしては、
|c|=√(c*(cの共役複素数))
となります。
(e^iθ)の共役複素数は(e^-iθ)ですから、

絶対値(e^iθ) =√((e^iθ)*(e^-iθ))=√(e^0)=√1=1
となります。

実数と複素数では絶対値の計算が少し異なります。

Q無限遠点での留数

下の2つの有理関数の無限遠点での留数を求めようと思うのですが、[a][b][c]の方法で別々に考えると答えが合いません。考え方が間違っているのでしょうか、根本的に勘違いをしているのでしょうか、指摘してくださるとうれしいです。よろしくお願いいたします。

(1) z^3/(z^4 - 1)
(2) z^3/(z^2 + 1)

[a] Res(∞,f(z)) = -Res(0,f(z)) を使うと、(1)は0となり不正解、(2)は0となり正解
[b] z=1/w と置換してから展開したものに(-1/w^2)を乗じて考えると、(1)は-1となり正解、(2)は1となり不正解
[c] z=0 での展開結果で z=1/w を代入し(-1/w^2)を乗じて考えると、(1)は0となり不正解、(2)は0となり正解

参考書の答えでは、(1)の答えは-1、(2)の答えは0、となっています。

Aベストアンサー

まず、留数の定義をきちんと確認してください。
z=aでf(z)が極のときにz=aでのfのローラン展開の1/(z-a)の係数が留数です。ただし、a=∞は除きます。
極以外では留数は定義されていません。しいて言えば0です。
[a] のような公式はありません。
-Res(∞,f(z))=-ΣRes(a,f(z))
が正しい式で和は全ての極についての留数の和です。
(1)は極はz=1,-1,i,-i の四つで各極での留数は1/4ですから-1が出てきます。(2)の極はiと-iで留数は-1/2と1/2ですから0が出てきます。
[b]は正しい方法と思いますが、∞での留数はlim f(z)=0 (as z→∞)のときのみ定義されていると思われます。定義をもう一度確認してください。定義されていないときは0とみなします。
[c]z=0でのテイラー展開はこの場合はどちらも収束半径が1ですから|z|<1のときしか意味をなしません。
つまりzが∞に近づくときには役に立ちません。

Q偏角の原理の証明過程で解らないところを教えてください。

関数f(z)は単一閉曲線Cでかこまれた閉領域Dで有理型であり、C上では正則であって零点をもたないとする。いまf(z)はCの内部に極α1,…,αm,零点β1,…,βnをもつとし、s1,…,smをα1,…,αmの位数、t1,…,tnをβ1,…,βnの位数とするとき、偏角の原理
(1/2πi)∫_cf’(z)dz/f(z)=(1/2π)∫_cdargf(z)=Σ[k;1→n]t_k-Σ[j;1→m]s_j での証明過程です。

logf(z)は多価関数であるが、その一つの分枝を考えるとき dlogf(z)/dz=f’(z)/f(z) となることから
(1/2πi)∫_cf’(z)dz/f(z)=(1/2πi)∫_cdlogf(z)
logf(z)=log|f(z)|+iargf(z)においてlog|f(z)|はzがC上を一周しても変わらないので、logf(z)の変化量はiargf(z)の変化量に等しい。これより最初の等式
(1/2πi)∫_cf(z)dz/f(z)=(1/2π)∫_cdargf(z) がでる。以下…とあるのですが、疑問点は、「log|f(z)|はzがC上を一周しても変わらない」の箇所です。

例えば複素平面上で0を原点とし半径1の単一閉曲線C上をzが一周するのなら|f(z)|が変わらないのは解りますが、より一般的な正円でない単一閉曲線C上をzが一周してもlog|f(z)|は変わらないのでしょうか?なぜなのか教えてください。

それとも証明文はlogf(z)の各分枝は定数の差しかないから、logf(z)の変化量は定数分の差すなわちiargf(z)の変化量に等しい。といっているのでしょうか?

質問が解りづらい文章ですみませんが、宜しくお願いします。

関数f(z)は単一閉曲線Cでかこまれた閉領域Dで有理型であり、C上では正則であって零点をもたないとする。いまf(z)はCの内部に極α1,…,αm,零点β1,…,βnをもつとし、s1,…,smをα1,…,αmの位数、t1,…,tnをβ1,…,βnの位数とするとき、偏角の原理
(1/2πi)∫_cf’(z)dz/f(z)=(1/2π)∫_cdargf(z)=Σ[k;1→n]t_k-Σ[j;1→m]s_j での証明過程です。

logf(z)は多価関数であるが、その一つの分枝を考えるとき dlogf(z)/dz=f’(z)/f(z) となることから
(1/2πi)∫_cf’(z)dz/f(z)=(1/2πi)∫_cdlogf(z)
logf(z)=log|f(z)|+iargf(z)に...続きを読む

Aベストアンサー

この辺りの事には疎いのですが、

Cをぐるっと一周した時に、
logf(z)の変化量を考えると、log|f(z)|は変化していないので、logf(z)の変化量=iargf(z)の変化量となる。
(一周する過程では、log|f(z)|の変化量は0ではないでしょうが、一周し終われば、log|f(z)|の値は元に戻る)

式で書けば、∫_c dlog|f(z)| =0という感じの意味ではないでしょうか?

例えば、原点の周りを一周して、元の場所に戻ると、argzは変化するが、|z|は変化しないですよね。これと同じような事だと思います。

(的外れだったらすいません)

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング