ラプラシアンが、物理的側面から、どのような意味を持つのか想像できません。
ΔA=∇^2 A= div grad A
ラプラシアンが勾配の発散であることは、数学的に理解できます。
また、勾配、発散(湧き出し)はイメージできます。
しかし、勾配の発散のイメージが分かりません。
googleで調べてみましたが、検索方法が悪いのか、理解できるページが見つかりませんでした。
Gooにも該当する質問はないようです。
初歩的な内容で恥じ入るばかりですが、
どなたか、「勾配の発散のイメージ」をご教授ください。
よろしくお願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>gradならば、「坂道の勾配」などで説明されると思うのですが、そのようなイメージ的なニュアンスで…。
いい線行っているのではないでしょうか?
勾配というのは,要するに傾きですよね。発散場のベクトルは最大勾配を下る向き。山をちょろちょろ下る水の流れのようなものです。「ちょろちょろ」でなくてはなりませんが,イメージとしては十分。
山肌は2次元面なのに対して,3次元空間のポテンシャルの勾配というのをイメージできないのは,しかたのないことです。むしろポテンシャルAに対する理解が十分かどうかが問われるでしょう。たとえば,密度減少の最大勾配方向に向かう流れベクトル・・・などはいかがでしょう。そうした具体的な場面に適用していくことで,ラプラシアンのイメージができていくと思います。本来が数学的抽象的な概念なのですから,イメージをつくるにはアナロジーと応用を知る以外にはないのではないでしょうか?
ご回答の前半部分は、
「
水流をuベクトル、水のポテンシャルを高度hの関数φ(h)と定義すると、
u= grad φ(h)
となり、勾配の発散、即ち水流の湧き出し量Vは、
V= div u= div grad φ(h)
となる。但し、オイラーの連続式より、密度ρの時間・空間変化量はすくなくてはならない。
」
という理解でよろしいでしょうか?
なんとなくイメージできました。ありがとうございます。
後半部分は、気流でイメージすると、
「
三次元空間の圧力pの勾配により気流流速uが発生するので、
u= grad p *α
となり、その発散はオイラーの連続式
∂ρ/∂t + div(ρu) =0
で表記できる
」
という理解でよろしいでしょうか?
具体例に応じて考えていくしか無いのですね…。
ご回答、ありがとうございます。
No.3
- 回答日時:
#1です。
>静電場は電場の発散であり、
電場の発散は電荷密度ですね。
No.1
- 回答日時:
発散のイメージでじゅうぶんではないでしょうか。
ヴェクトルの発散は、そのヴェクトル場を場の源と関連付けます(例えば電磁気学のガウスの法則)。そのヴェクトル場がスカラー場(ポテンシャル)の勾配で表されるときには、ヴェクトル場の発散はスカラー場の勾配の発散、すなわちラプラシアンという形になります。ヴェクトルよりスカラーの方が扱いやすいことがあるので、場の記述として、後者がよく使われるのだと思います。
静電場は電場の発散であり、電場はポテンシャルの勾配であるので、
div grad φ =Δφ
という事でしょうか…?
勾配の発散がラプラシアンという事は(数学的に)理解できるのですが、
「勾配の湧き出し量」を図示し説明できるようにイメージできません。
gradならば、「坂道の勾配」などで説明されると思うのですが、そのようなイメージ的なニュアンスで…。
ご回答、ありがとうございます。
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