地面からの高さＨの建物から水平方向にV0でボールを投げた場合を考え、ボ

地面からの高さＨの建物から水平方向にV0でボールを投げた場合を考え、ボールを質量ｍの質点としてとらえる。（働く力は重力のみ）　このボールの運動について運動方程式を立て、それを解き位置及び速度を求める。またエネルギー保存則から落下直前の速度を求め運動方程式で求められた答えと一致することを確かめよ、という問題なのですがよくわからないので途中の過程や考え方を説明しつつ解を教えてもらえないでしょうか　

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/01/17 01:31

こんばんは。

質問者様が何の学校の何年生かわかりませんが、
微積分を使うのが考え方が簡単なので、それで書きます。

位置、速度、加速度の水平方向成分を、それぞれ、ｘ、Ｖx、ａx　と置き、
位置、速度、加速度の垂直方向成分（上方向をプラスとする）を、それぞれ、ｙ、Ｖy、ａy　と置き、
重力加速度の絶対値を|ｇ|と置きます。

水平方向の運動方程式は、
ｍａx　＝　０　・・・（あ）
垂直成分の運動方程式は、
ｍａy　＝　－ｍ|ｇ|　・・・（い）

位置を微分すれば速度、速度を微分すれば加速度です。
積分は、その逆となります。


まず、水平成分の式（あ）について。

（あ）を時刻ｔで積分
∫ｍａxｄｔ　＝　定数その１
ｍ∫ａxｄｔ　＝　定数その１
ｍｖx　＝　定数その１

ここで、ｔ＝０　のとき ｖx＝Ｖ0 なので、
ｍＶ0　＝　定数その１
よって、
ｍｖx　＝　ｍＶ0　　・・・（か）

さらに積分すれば、
ｍｘ　＝　∫ｍＶ0ｄｔ
ｍｘ　＝　ｍＶ0ｔ　＋　定数その２

ここで、ｔ＝０　のとき　ｘ＝０　と置くのが便利なので、
ｍ×０　＝　ｍＶ0×０　＋　定数その２
定数その２＝０
よって、
ｍｘ　＝　ｍＶ0ｔ　　・・・（き）


次に垂直成分の式（い）について。

再掲
ｍａy　＝　－ｍ|ｇ|　・・・（い）
両辺をｔで積分。
ｍ∫ａyｄｔ　＝　－ｍ|ｇ|ｔ　＋　定数その３
ｍｖy　＝　－ｍ|ｇ|ｔ　＋　定数その３

ここで、ｔ＝０　のとき　ｖy＝０　なので、
ｍ×０　＝　－ｍ|ｇ|×０　＋　定数その３
定数その３　＝　０
よって、
ｍｖy　＝　－ｍ|ｇ|ｔ　　・・・（さ）

さらに積分
ｍ∫ｖy　＝　－ｍ|ｇ|ｔ^2／２　＋　定数その４
ｍｙ　＝　－ｍ|ｇ|ｔ^2／２　＋　定数その４
ｔ＝０　のとき　ｙ＝Ｈ　なので、
ｍＨ　＝　－ｍ|ｇ|×０^2／２　＋　定数その４
定数その４　＝　ｍＨ
よって、
ｍｙ　＝　－ｍ|ｇ|ｔ^2／２　＋　ｍＨ　　・・・（し）


以上のことから、４つの運動方程式が勢ぞろいしました。
ｍｖx　＝　ｍＶ0　　・・・（か）速度の水平方向成分
ｍｘ　＝　ｍＶ0ｔ　　・・・（き）位置の水平方向成分
ｍｖy　＝　－ｍ|ｇ|ｔ　　・・・（さ）速度の垂直方向成分
ｍｙ　＝　－ｍ|ｇ|ｔ^2／２　＋　ｍＨ　　・・・（し）位置の垂直方向成分（＝高さ）


落下寸前（ｙ＝０）の時刻は、
ｍ×０　＝　－ｍ|ｇ|ｔ^2／２　＋　ｍＨ
より、
ｍ|ｇ|ｔ^2／２　＝　ｍＨ
ｔ　＝　√（２Ｈ／|ｇ|）
このときの、速度の水平、垂直の成分は、
水平成分　（か）より
ｖx　＝　Ｖ0
垂直成分　（さ）より
ｖy　＝　－|ｇ|√（２ｍＨ／|ｇ|）　＝　－√（２ｍ|ｇ|Ｈ）

速度の絶対値は、三平方の定理により
Ｖ＝√（ｖx^2　＋　ｖy^2）　＝　√（Ｖ0^2　＋　２ｍ|ｇ|Ｈ）

よって、落下寸前の運動エネルギーは、
１／２・ｍＶ^2　＝　１／２・ｍ（Ｖ0^2　＋　２|ｇ|Ｈ）
　＝　１／２・ｍＶ0^2　＋　ｍ|ｇ|Ｈ　　・・・（た）

一方、スタート（ｔ＝０）のときは、
運動エネルギー　＝　１／２・ｍＶ0^2
位置エネルギー　＝　ｍ|ｇ|Ｈ
合計　＝　１／２・ｍＶ0^2　＋　ｍ|ｇ|Ｈ　　・・・（ち）

というわけで、（た）と（ち）は一致しました。

この回答へのお礼

参考にして自分で頑張ってみます

お礼日時：2010/01/22 20:05

No.2 ベストアンサー 回答者： mychingoo 回答日時： 2010/01/17 02:23

　横軸をｘ軸、縦軸をｙ軸として点Ｐ（０，Ｈ）からボールを投げたとします。

働く力は重力のみですから
　水平方向の運動方程式は　ｍｄ＾２ｘ／ｄｔ＾２＝０
　垂直方向の運動方程式は　ｍｄ＾２ｙ／ｄｔ＾２＝－ｍｇ
　となります。加速度はそれぞれ両辺をｍで割って
　ｄ＾２ｘ／ｄｔ＾２＝０　ｄ＾２ｙ／ｄｔ＾２＝ーｇ
　積分すると速度は　ｄｘ／ｄｔ＝Ｖ０　ｄｙ／ｄｔ＝－ｇｔ
　垂直方向の初速度はゼロですから積分定数はゼロです。
　もう一度積分して位置（の座標）を求めると
　ｘ＝Ｖ０ｔ　ｙ＝－１／２ｇｔ＾２＋Ｈ
　点Ｐ（０，Ｈ）から投げ出したのですからこのようになります。
　次に速度と位置を求めます。
　地面に到達する時刻はｙ＝０と置いてｔ＝√２Ｈ／ｇです。これを代入するとｄｙ／ｄｔ＝－√２ｇＨ　ｘ＝Ｖ０√２Ｈ／ｇが求まります。
　従って求める位置（の座標）は（Ｖ０√２Ｈ／ｇ，０）です。
　速度はＶ＝ー√（ｄｘ／ｄｔ）＾２＋（ｄｙ／ｄｔ）＾２より
　Ｖ＝－√Ｖ０＾２＋２ｇＨです。
　次に力学的エネルギーの保存則から速度を求めてみます。
　投げ出した時にボーりが持っていた運動エネルギーはＫ＝１／２ｍＶ０＾２。同じく位置エネルギーはＵ＝ｍｇＨ。地面に到達した時には位置エネルギーはゼロとなります。
　ですからエネルギー保存の式は求める速度をＶとすると
　１／２ｍＶ＾２＝１／２ｍＶ０＾２＋ｍｇＨとなります。
　これをＶについて解くとＶ＝－√Ｖ０＾２＋２ｇＨとなって、運動方程式によって求めた答えと一致します。
　注意しなければならないのは、地面に到達した時の速度は水平方向より下向きになりますからＶ＜０となることくらいですか？