代数系の勉強をしています。

代数系の勉強をしています。
しかし、まったくわかりません。
３次対称群の位数３の部分群の求め方や、各元で生成される巡回部分群の求め方、（R*,X),(z,+)とは何ですか？
丁寧に教えてください。よろしくお願いします。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/01/22 20:37

>丁寧に教えてください。

丁寧に教科書を読むことから始めて下さい。

No.2 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/03/19 13:44

X_3={1,2,3}

S_3={σ:X_3→X_3|σは全単射(1対1上への)写像}
としたとき
S_3を３次対称群という。
S_3の位数3の部分群をHとする。
Hの位数|H|=3だから1≠σ∈H-{1}となるσがある
σから生成される巡回群(σ)=(σ^i)_{iは自然数}⊂H
Hの部分群の位数はHの位数|H|=3の約数となるから|(σ)|=1=|{1}|または|(σ)|=3=|H|
(σ)={1}または(σ)=Hとなり,σ≠1だから(σ)=H
H={1,σ,σ^2},σ^3=1となり
σの位数|σ|=min{i|σ^i=1}=3となる,
σ≠1だからσ(1)≠1だからσ(1)=2またはσ(1)=3となる
σ(1)=2のときσ(2)≠σ(1)=2,σ^2≠1だからσ(2)=σ(σ(1))≠1だからσ(2)=3
　σ(3)≠σ(1)=2,σ(3)≠σ(2)=3だからσ(3)=1となるからσ=(1,2,3)(巡回置換1→2→3→1)となる
σ(1)=3のときσ(3)≠σ(1)=3,σ^2≠1だからσ(3)=σ(σ(1))≠1だからσ(3)=2
　σ(2)≠σ(1)=3,σ(2)≠σ(3)=2だからσ(2)=1となるからσ=(1,3,2)(巡回置換1→3→2→1)となる
σ_1=(1,2,3),σ_2=(1,3,2)とすると
σ_1^2=(1,2,3)^2=(1,2,3)(1,2,3)=(1,3,2)=σ_2
H={1,(1,2,3),(1,3,2)}が位数3の部分群となる
(R*,X),(Z,+)の定義はそれが書かかれている本によって異なりますので本をご覧下さい。
一般的にRは実数の集合,Zは整数の集合とする場合が多いですがそうでない場合もあります。
例えばZを整数の集合とするZは加法+乗法*について環となるが
整数環Zは加法+について群となるが乗法*について群にならないという事を言う場合
(Z,+)は群となるが、(Z,*)は群でないと言う事もあります。
Rを実数の集合としてR*=R-{0}とし乗法Xとすると
(R,X)は群ではないが、(R*,X)は群となると言う事もありますが、
そういうアルファベット記号の使い方をしない場合もあります。