高校入試問題に間違い？それとも私の間違い？

鋭角三角形 △ABC の外心を O とするとき、△OAB：△OBC：△OCA＝３：５：４になるとすれば、∠BAC は何度になりますか。

これは、英俊社「平成２２年度受験用　近畿の高校入試問題　数学」にある問題の図についての質問です。問題の図では∠BAC=60°になっているのですが、私の計算では45°になってしまいます。
１月４日と１週間前に出版社にメールで問い合わせているのですが何の返答もありません。そこで、私が間違っているのかどうかをこちらでお聞きしたいと思いました。

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/01/23 07:50

＞右の図のように、円Oの周上に、３点A、B、Cがあり、△OAB、△OBC、△OCAの面積比は３：５：４である。

BC=2√3、∠BAC=60°とし、さらに、直線COと円Oとの交点で点Cと異なる点をD、線分ABとの交点をEとする。次の問いに答えよ。ただし、円周率はπとする。

　私も質問者さんの指摘は正しいと思います。（∠BAC＝45°、BC=2√2）

　△OAB：△OBC：△OCA＝３：５：４　の条件の内、△OABの面積比が不明として他の条件から△OABの面積を求めることで検証してみます。


１）　∠BAC=60°のとき
　　△OBC＝√3
　　△OCA＝2sinθ　（θ＝∠AOB）
　　△OAB＝2sin(θ-60°)＝sinθ-√3cosθ

　△OBC：△OCA＝５：４　から、
　　sinθ＝2√3/5、cosθ＝-√13/5

　∴△OAB＝(2√3+√39)/5

　∴△OAB：△OBC：△OCA＝(2√3+√39)/5：√3：4√3/5
　　　　　　　　　　　　＝(2+√13)：５：４　≒３：５：４


２）　∠BAC＝45°のとき
　　△OBC＝3
　　△OCA＝3sinθ　（θ＝∠AOB）
　　△OAB＝-3cosθ

　△OBC：△OCA＝５：４　から、
　　sinθ＝4/5、cosθ＝-3/5

　∴△OAB＝9/5

　∴△OAB：△OBC：△OCA＝9/5：３：12/5
　　　　　　　　　　　　＝３：５：４


　ちなみに、∠BAC＝45°の場合、円の面積を　４π　にするためには、　BC=2√２　にする必要があります。

この回答へのお礼

検証ありがとうございます。２人の方から問題のほうに間違いがあるといわれて心強いです。

面積比が　△OAB：△OBC：△OCA＝３：５：４　ならば、∠BAC=45°　が要請されるはずです。ここを訂正すれば、ありえない三角形は解消されます。そこに、ご指摘のように BC=2√2 とすれば、解答を訂正せずに済みますね。どうやらそれが最小の訂正方法のようです。

時間を割いていただいてありがとうございました。あとは入試問題のミスでなく出版社のミスであることを願うばかりです。とはいうものの気が重いです。

お礼日時：2010/01/23 11:21

No.5 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/01/23 08:21

　＃４です。

　誤記がありましたので、訂正します。

＞１）　∠BAC=60°のとき

　　（中略）

＞　∴△OAB：△OBC：△OCA＝(2√3+√39)/5：√3：4√3/5
＞　　　　　　　　　　　　＝(2+√13)：５：４　≒３：５：４
（正）　　　　　　　　　　＝(2+√13)：５：４　≠３：５：４

この回答へのお礼

伝わっていましたので私は大丈夫でした。

上記の面積比から角度または角の正弦を求めるのは、大学入試にありそうな問題です。実は、別の三角形の正弦定理が隠れていることに気づきました。他にも隠れているような気がします。

ありがとうございました。

お礼日時：2010/01/23 11:47

No.3 回答者： debut 回答日時： 2010/01/22 22:40

どんな問題かわからないけど、気になったので。

（△OAB：△OBC：△OCA＝３：５：４を面積比と考えました）

∠ＢＡＣ＝45°、外接円の半径をｒ、△Ｏ ＢＣの面積を５とすれば
∠ＢＯ Ｃ＝90°から、(1/2)r^2=5
△Ｏ ＡＣで、∠ＡＯ Ｃ＝ｘ°とすれば、(1/2)r^2sinｘ＝４から、
ｘは約53.13°か約126.87°
△ＯＡＢで、∠ＡＯ Ｂ＝ｙ°とすれば、(1/2)r^2sinｙ＝３から、
ｙは約36.87°か約143.13°
なので、90°＋126.87°＋143.13°＝360°とすれば適します。

一応もう一方も。
∠ＢＡＣ＝60°、外接円の半径をｒ、△Ｏ ＢＣの面積を５とすれば
∠ＢＯ Ｃ＝120°から、{(√3)/4}r^2=5
△Ｏ ＡＣで、∠ＡＯ Ｃ＝ｘ°とすれば、(1/2)r^2sinｘ＝４から、
ｘは約43.85°か約136.15°
△ＯＡＢで、∠ＡＯ Ｂ＝ｙ°とすれば、(1/2)r^2sinｙ＝３から、
ｙは約31.31°か約148.69°
なので、43.85+148.69=192.54や136.15+31.31=167.56や
136.15+148.69=284.84　となり、120°と足しても360°にはなりません。

できれば、問題の全容を。

この回答への補足

ありがとうございます。少し自信がわいてきました。

画像をupするのに手間取りました。画像を確認できなかったので念のため、問題は---

右の図のように、円Oの周上に、３点A、B、Cがあり、△OAB、△OBC、△OCAの面積比は３：５：４である。BC=2√3、∠BAC=60°とし、さらに、直線COと円Oとの交点で点Cと異なる点をD、線分ABとの交点をEとする。次の問いに答えよ。ただし、円周率はπとする。

(1) 円Oの面積を求めよ。
(2) 線分EDの長さを求めよ。
(3) BE:EAを最も簡単な整数の比で表せ。
(4) 線分ABの長さを求めよ。

---です。図はこのわくにはかけません。問題集の答えは、(1)4π、(2)4/3、(3)5:4、(4)(6√10)/5 です。ライターの答えと思われます。

補足日時：2010/01/22 23:22

この回答へのお礼

画像をupしたはずですが、できていません。何かあったようです。

質問投稿時に問題を丸ごと書かなかったのは、出版社が著作権を理由に削除を goo に依頼することを避けるためでした。そのくらい出版社に対して不信感があります。でも、もういいです。はじめはこのURLをつけてメールして返事がなければ電話しようと思っていましたが、直接電話しようと思います。ここのことは内緒にして。

とにかく心配なのはオリジナルが間違っていた場合です。おそらく全部無効ですから、合否に影響がないか心配です。できれば最後の一問だけを無効にしてほしい。影響は出ないでほしい。たとえあったとしても、それに振り回された人は大学入試でリベンジを果たしてほしい。そう思います。
一番望ましいのは出版社のミスです。指摘を黙殺しているのはこれが理由に違いないと思うことにします。少し気が楽になりました。

ありがとうございました。この場をおかりして、みなさん、ありがとうございました。

お礼日時：2010/01/24 00:19

No.2 回答者： 4028 回答日時： 2010/01/22 19:23

問題は分かりませんが

図の角度と答えの角度が同じだとは限りません。

分からない人が見た感じで「６０°」
と書いたら間違えるようになっているのかもしれません。

あなたの計算に自信があって
４５°が出たなら
それで合っていると思います。

この回答への補足

お返事ありがとうございます。

説明不足でした。問題にはすでに60°と書かれてあるのですが、面積比が上の質問のようになるなる三角形では45°しかないのではないかと思うのです。私が正しいとすると出題ミスかもしれず、困ったことになりはしないかと心配です。しかし出題ミスのニュースは聞きませんでしたから、私が勘違いしているかもしれません。そこで真偽を確かめたく、こちらで質問したというわけです。

補足日時：2010/01/22 22:43

No.1 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2010/01/22 19:03

＞△OAB：△OBC：△OCA＝３：５：４

って何ですか？
面積比ですか？

この回答への補足

お返事ありがとうございます。面積比です。書き忘れていました。

補足日時：2010/01/22 22:23