逆三角関数の微分

逆三角関数の微分の導き方について誰かおしえてください。
おねがいします。
詳しくお願いします


(1/(sin＾-1)x)'=-|x|^(-1)/√(1-x＾2)

(-1<x<1)

No.1 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/01/24 19:18

＞(1/(sin＾-1)x)'=-|x|^(-1)/√(1-x＾2)

＞(-1<x<1)

　逆三角関数の書き方や、右辺がおかしくありませんか？

　sinの逆関数をsin^(-1)(x) と書く代わりに　arcsin(x) と書くことにします。
　そのとき、右辺は　1/arcsin(x)　の微分と読み取れますが、これを計算しても左辺にはなりません。

　　　{ 1/arcsin(x) }'＝±1/{arcsin(x)}^2/√(1-x^2)

　微分したものが右辺に近い形になるものに、次のものがあります。

　　{ arccosec(x) }'＝干1/|x|/√(x^2-1)　　（√の中身の符号が逆です。）

　恐らく、左辺は　arccosec(x)　のことだとして微分してみます。
　（arccosec(x)は、cosec(x)の逆関数です。）

　　arccosec(x)＝y とおきます。

　　x＝cosec(y)
　　x=1/sin(y)
　∴sin(y)＝1/x　　　　（⇒　cos(y)＝±√(1-1/x^2)＝±1/|x| √(x^2-1)　）　（以下、複号同順です。）

　この両辺をｘで微分します。

　　y' cos(y)＝-1/x^2
　∴y'＝-1/x^2/cos(y)
　　　＝干1/|x|/√(x^2-1)　

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/01/25 02:49

>(1/(sin＾-1)x)'=-|x|^(-1)/√(1-x＾2)

　↑ 左辺は「{1/arcsin(x)}'」と書くこと。
>(-1<x<1)
質問の式は間違いなので誰であろうと導けません。

正しくは
y'={1/arcsin(x)}'
　=-1/[{(arcsin(x)}^2)√(1-x^2)]
(-1<x<1,x≠0)
です。