積分法

Question

次の２つの条件を満たす２次関数ｆ(ｘ)を求めよ。
〔１〕任意の１次関数ｇ(ｘ）に対して∫{０～１}ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)ｄｘ＝０
〔２〕∫{－１～１}ｆ(ｘ)ｄｘ＝１

２次関数ｆ(ｘ)＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃとおいて〔２〕より２ａ／３＋２ｃ＝１という方程式をたてました。ここで１次関数ｇ(ｘ）のおき方なのですが、ｇ(ｘ）＝ｄｘ＋ｅとおくのでしょうか？このようにおくと文字が沢山になって分かりにくい気がするのですが。
〔１〕から立てられる方程式の求め方を教えて下さい。回答宜しくお願いします。

fushigichan · Accepted Answer

ti-zuさん、こんにちは。
解法のヒントが出ていますが、ここはti-zuさんが考えたように
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=dx+e
とおいて、計算していくのが一番分かりやすいかなと思います。

f(x)g(x)=(ax^2+bx+c)(dx+e)=adx^3+(ae+bd)x^2+(be+cd)x+ce
ですから、これをｘが0から1まで定積分すると、
∫f(x)g(x)dx=∫{(ax^2+bx+c)(dx+e)=adx^3+(ae+bd)x^2+(be+cd)x+ce}dx
=[(ad/4)x^4+(ae+bd)x^3/3+(be+cd)x^2/2+cex]０から１まで
=ad/4+(ae+bd)/3 +(be+cd)/2 +ce=0
分数を整数になおすと、
3ad+4ae+4bd+6be+6cd+12ce=0・・・（☆）

さて、ここで、g(x)は、任意の一次関数でした。
任意の、ということは、「どんな一次関数でもよい」という意味です。
g(x)=dx+eが一次関数であるためには、d≠0ですが、
d≠0であれば、どんなd,eの値をとっても成り立つわけです。
ですから、＃１さんのように分かりやすくg(x)を決めてやればいいんですね。

例えば、d=1,e=0としましょう。このとき、（☆）は
3a+4b+6c=0・・・（あ）

また、もう一つd=1,e=1としてみましょう。このとき（☆）は
7a+10b+7c=0・・・（い）

これらと、ti-zuさんが条件[2]より求めた式
2a/3+2c=1より
2a+6c=3・・・・（う）

この、（あ）（い）（う）の３つの連立方程式を解いて、a,b,cを求めればよいですね。
実際に解いてみると、
a=1,b=-1,c=1/6となりました。
つまり、f(x)=x^2-x+1/6
となります。

さて、このとき、任意の一次関数g(x)をかけて、０から１まで定積分して０になるかどうか
実際に確かめてみましょう。

条件[1]は
∫(x^2-x+1/6)(dx+e)dx=∫{dx^3+(e-d)x^2+(-e+d/6)x+e/6}dx
=[(d/4)x^4+(e-d)x^3/3 +(-e+d/6)x^2/2 +e/6]０から１まで
=d/4+(e-d)/3+(-e+d/6)/2 +e/6=Iとおく
Ｉの値が０になっていることがいえればよいですね。

分母を払うため、Iを１２倍しましょう。
12I=3d+4e-4d-6e+d+2e
=(3-4+1)d+(4-6+2)e=0*d +0*e=0

となるので、g(x)として、どんな一次関数を選んでも、
条件[1]が成立することが確かめられました。

よって、上のことより、求める２次関数f(x)は

f(x)=x^2-x+1/6・・・・（答え）


このように、f(x),g(x)を、ti-zuさんが考えたように
具体的に文字で置いてみて、計算していくのが一番近道だと思います。
計算は確かにややこしいですが、落ち着いて計算すればいいですね。
頑張ってください。

siegmund · Answer

>ｇ(ｘ）＝ｄｘ＋ｅとおくのでしょうか？
> このようにおくと文字が沢山になって分かりにくい気がするのですが。

こうおいて計算して答を出し，
さてもっと簡単にできなかったかと振り返ってみるのが勉強だと思うのですがね．
どうやれば簡単かが「見える人」というのはそういう蓄積があるのだと思います
(大天才はどうか知りません)．

さて，
(1)　　g(x) = dx + e
とおいて，以下やるべきことの論理構成はどうなっているのでしょうか．
(2)　　∫{0～1} f(x) g(x) dx
を計算する？
まあ，そりゃそうです．
で，
(3)　　(2) = d×(a,b,c の式#1) + e×(a,b,c の式#2) 
に形になります．もちろん，式#1 と 式#2 の具体的形は別にして，
計算やらなくてもこの形になることはわかります．
どんな１次関数に対しても(つまり，どんな d と e を選んでも)，(3)がゼロというのだから，
(4)　　(a,b,c の式#1) = 0
(5)　　(a,b,c の式#2) = 0
ということです．

ん？でも
(6)　　(a,b,c の式#1) = ∫{0～1} f(x) x dx
(7)　　(a,b,c の式#2) = ∫{0～1} f(x) dx
ですね．

そうすると，(6)=0，(7)=0，質問文にある式，３つ式が出ました．
決めるべき係数は a,b,c ですから，特別変なことがなければ a,b,c は決まります．

上の話は rei00 さんの g(x) の選び方で，g(x)=x と g(x)=1 に選んだことになっています．
ただし，上の話ですと，rei00 さんの
> 求めた f(x) が (1) の条件を満たすか確認します。
は不要ですね．

結局，余り面倒な計算は要らないのですが，
g(x) = dx + e とおいたところで，「こりゃ文字が増えすぎて面倒でダメ」と思ってしまうと
先に進めません．

mmky · Answer

〔１〕から立てられる方程式の求め方を教えて下さい。
ですね。以下参考程度に

[1]は部分積分法を使って、
∫[0～1]f(x)g(x)dx
=F(x)g(x)|-∫[0～1]F(x)ｇ'(x)dx
=F(1)g(1)-F(0)g(0)-∫[0～1]F(x)ｇ'(x)dx
=F(1)g(1)-F(0)g(0)-g'(x)∫[0～1]F(x)dx=0
:f(x)は二次関数なのでその原始関数F(0)=0
g(x)は一次関数なのでg(1),g'(x)は双方とも係数
だから、F[3]をf(x)の積分関数、F[4]をF[3]の積分関数とすれば、
F(1)={g'(x)/g(1)}∫[0～1]F(x)dx
F[3](1)={g'(x)/g(1)}F[4](1)
F[3](1)/F[4](1)={g'(x)/g(1)}
になるように二次関数f(x)の係数を決めればよいということですね。
{g'(x)/g(1)}=1 の場合は、：g(x)=dx の場合ですね。
f(x)=ax＾2+bx+c
F[3](1)=a/3+b/2+c
F[4](1)=a/12+b/6+c/2
a/3+b/2+c=(1/2){a/6+b/3+c}

というような感じですね。

rei00 · Answer

自分でやらないと力にならないでしょうから，ヒントだけ。

> 〔１〕任意の１次関数ｇ(ｘ）に対して
> ∫{０～１}ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)ｄｘ＝０

　『任意の一次関数 g(x)』に対して成り立つわけですから，g(x) を適当な一次関数に決めます。例えば，g(x)=x, g(x)=x-1, ・・・。

　お書きの様に条件 (2) から式が１つできますね。未知数は a, b, c の３つですから，上記の g(x) は２種類考えます。この時，g(x)=x と g(x)=2x の様に一方を何倍かして他方にならないものを選びます。

　あとは実際に計算すれば，方程式３つが出ますので，それを解いてやれば a, b, c が求まります。

　最後に，求めた f(x) が (1) の条件を満たすか確認します。

積分法

ti-zuさん、こんにちは。

>ｇ(ｘ）＝ｄｘ＋ｅとおくのでしょうか？

〔１〕から立てられる方程式の求め方を教えて下さい。

自分でやらないと力にならないでしょうから，ヒントだけ。

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