至急！１対１対応の演習 一文字固定法

x≧0、y≧0、x+y≦2を同時に満たすx、yに対し、z=2xy+ax+4yの最大値を求めよ。
ただし、aは負の定数とする。
答えは８です。
ちなみに問題は１対１対応の演習の数Iです。
よろしくお願いします。。

No.1 回答者： japaneseda 回答日時： 2010/02/09 19:35

一対一対応・・・・

こんなのあったっけ？？

何ページですか？

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/09 19:39

z = 2(x+2)(y+(a/2))-2a

と変形してから考える。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/09 20:32

質問のタイトルにある「一文字固定法」をそのままやればいいではないですか。

まず、x(0≦x≦2)を固定してやると 0≦y≦2-xの変域のyに対して
zy=∂z/∂y=2x+4≧0
zはyについて単調増加なので　y=2-xの時　
最大値z(y=2-x)=-2x^2+ax+8=-2{x-(a/4)}^2+8+(1/8)a^2(=f(x)とおく）

次に 変域：0≦x≦2のxに対して
放物線y=f(x)の対称軸がx=a/4<0なので
x=0の時（このときy=2）f(x)の最大値はf(0)=8
となります。

この回答への補足

解き方はおかげさまでなんとか理解できました。
・・・実を言うと「一文字固定法」の意味が良く分からないんですよね・・・
よかったら教えていただけないでしょうか＞＜；

補足日時：2010/02/10 12:24

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/10 03:17

微分は必要無いかな。

X = x+2 ≧ 2,
Y = y+(a/2) ≧ a/2,
X+Y ≦ 4+(a/2)
のとき
z = 2XY-2a
の最大値を求める問題。
XY の最大値が解れば済む。

a ＜ 0 に注意して (X,Y) の動く三角形を
図示すれば、解るでしょう。
数I です。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/10 03:19

微分は必要無いかな。

X = x+2 ≧ 2,
Y = y+(a/2) ≧ a/2,
X+Y ≦ 4+(a/2)
のとき
z = 2XY-2a
の最大値を求める問題。
XY の最大値が解れば済む。

a ＜ 0 に注意して (X,Y) の動く三角形を
図示すれば、解るでしょう。
数I です。

No.6 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/02/10 09:17

数Iで微分なんかあったっけ？　冗談だろう　。

。。。。。。ｗ

x≧0、y≧0、x+y≦2から、0≦y≦2－x　‥‥(1)
z=2xy+ax+4y＝2*（x+2）*y＋ax　であるが、yの1次関数と見ると、x+2＞0より傾きは正。
従って、(1)より、2*（x+2）*y＋ax　≦2*（4-x＾2）＋axであるから、2*（4-x＾2）＋ax　の最大値を求めると良い。
但し、x≧0、y≧0、x+y≦2から、0≦y≦2－x　であるから、0≦x≦2の範囲でね。

あとは、2次関数の最大値を求めるだけ。

No.7 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/02/10 12:42

＞実を言うと「一文字固定法」の意味が良く分からないんですよね・・

変数がxとyの2つある場合、どちらかの変数を“一時定数”とみて、先ず先に変数としたものを動かして最大値を求め、次にその最大値の最大値を求める。

先に示した解で、xを一時定数とみて、yを先に動かして最大値Ａをxでもとるめる。そして、xの値の範囲でＡの最大値を求める。

問題は、どちらを先に一時定数と見るかによって、解の難しさが違ってくる事だ。
先の解でも、yを一時定数とみてxを先に動かすと、面倒になる。
どちらを先に一時定数と考えるか、瞬時に判断するのは“慣れ”が必要。

No.8 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/10 13:28

#3です。

A#3の補足について
>・・・実を言うと「一文字固定法」の意味が良く分からないんですよね・・・
変数x,yの取り得る領域（2次元の領域）の全体で点(x,y)をくまなく動かして、目的関数zの最大となる所と最大値（最小値の場合もある）を求めるのですが、領域全体をもれなく動かす方法が、一変数だけを動かし、他の変数は固定して、最大値（または最小値）を求め、次に固定していた変数を動かして、最大値（または最小値）を求めます。これを繰り返し最大値の最大値を求めて行きます。
これを「一文字固定法」といっているのでしょう。一般的な用語ではないと思います。
2変数だけでなく、多変数に対して、目的関数を最大または最小にする方法に線形計画法、シンプレックス法があります。
この方法の最も簡単な2変数の場合が今回のケースになるかと思います。
興味があれば参考URLをご覧ください。

参考）
http://www.bunkyo.ac.jp/~nemoto/lecture/or/97/si …

No.9 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/15 09:16

たかが XY の最大値を求めるのに、

微分やら変数固定法(予選決勝法)やらが
本当に必要か、落ち着いて、よく考えてみては？
点 (X,Y) の変域を図示して、
XY=(定数) がどんな曲線だったか思い出すせば、
一発です。