０ではないことの証明

√（２√（２√（２√（２√……））））　（……は無限に続くことを表す）の値を求めよ

という問題で、解答は、

t=√（２√（２√（２√（２√……））））
t^2　＝２√（２√（２√（２√……）））　=　２t
t(t-2)=0
ここでtは0でないからt=2

とあります。疑問なのは、「tは0でない」という部分です。
直感的には、0でないというのはうなずけるのですが、直感的にではなく、0でないことを数学的に証明することはできるのでしょうか。
よろしくお願いします。

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2010/02/21 18:32

√（２√（２√（２√（２√……））））>√（1√（1√（1√（1√……））））

No.3 回答者： fef 回答日時： 2010/02/21 17:38

厳密に議論しようと思うと，問題の極限がどのように定義されているかも問題ですが，

とりあえず，
以下のように定義された数列 {a(n)} の n -> inf での極限であるとします:
　a(1) = sqrt(2),
　a(n + 1) = sqrt(2 a(n))　for n = 1, 2, 3, ...

このとき，数列 {a(n)} の各項に関して
　1 < a(n) < 2
の成り立つことが数学的帰納法により証明できます．
したがって，n -> inf の極限を考えると
　1 <= a(inf) <= 2
なので，a(inf) は 0 でないことがわかります．

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#108210 回答日時： 2010/02/21 16:04

t=√（２√（２√（２√（２√……））））

=2^(1/2)・2^(1/4)・2^(1/8)・2^(1/16)・…

t=0 とすると正の整数n が存在して，
2^(1/(2^n))=0
この式の両辺を(2^n)乗すると，
2=0
これは矛盾。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/02/21 15:57

いきなり

t=√（２√（２√（２√（２√……））））

と置くのではなくて、n 回ルートをとった所を t_n と置いて lim t_n を考察すれば容易です。