微分係数が０で、極値でないところの呼び方

Question

たとえば、関数ｙ＝ｘの３乗　における、ｘ＝０のように、微分係数が０　かつ　極値ではないような点の名称ってなにかきまっているのでしょうか？

ametsuchi · Accepted Answer

失礼しました。

「変曲点であるからと言って、微分係数＝０とは限らない」
「変曲点であることは所与の条件を満足するための必要十分条件ではない」

と言うべきところ、「変曲点でない」などと言ってしまいました。訂正します。

しかし、「所与の点は変曲点」と説明するのは、

「猿とは哺乳類*)である。」

と言うに等しいです。

「猿は哺乳類である」

というのは勿論正しいが、「猿」を説明するには不十分です。私の前の発言は、

誤って「猿は哺乳類でない」と言ってしまったので、皆さんの御批判を浴びたわけです。これは全面的に取り消します。

私は基本的に「ringo2001」の意見を指示しますが、「shuudai」さんにも、回答者の方にもご理解いただきたいのは、

■「極値と変曲点とはいわば階数が違う」

ということです。下の「変曲点」論議を聞くと、極値と変曲点が同列に聞こえますが、そうではないと主張したいです。同列に扱うと、本来の「変曲点」の意味が見失われます。

私は長いこと、CADでパラメトリック３次曲線を扱って来ましたが、「変曲点」とは文字どおり、曲率中心が入れ替わる点のことです。所与の関数、関数の表わすグラフと、パラメトリック３次曲線は全く別のものですが、アナロジーとしては成立するし、本来の「変曲点」の定義からしてもそれは妥当です。

本来の定義に従えば、変曲点とは１階導関数に対する極値のはずです。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
*)「類」ではなくてホントは「綱」

ikue · Answer

はじめにametsuchiさん、y=x^3＋xを考えるとx=0では「小極値」です。グラフをかけば一目瞭然。つぎにringo2001さんの言われた平坦な関数（例えばf(x)=1）の場合、その関数はずーっと極値なのでは？
私もky33さんやorimotoさんのおっしゃられるように「変曲点」だと思います。

ringo2001 · Answer

１変数関数に限定して考えているときは、「微分係数が０である変曲点」というのもありかもしれませんね。でも多変数関数だと変曲点て定義されてませんよね？どうなんだろう？
それと、平坦な関数（例えばf(x)=1）の場合、凹凸が変化しないですけど、こういう場合も変曲点ていうのかな。言えれば問題ないですね。

puni2 · Answer

えーと，結果的に「y=x^3でx=0の点」は変曲点にもなっているわけですが，質問の「微分係数が０　かつ　極値ではないような点（の集合）」は「変曲点の一部」にすぎないということですね。
ringo2001さんの回答にあるように「極でない停留点」と呼ぶか，あるいは「微分係数が0である変曲点」かなあ。

orimoto · Answer

「変曲点」です。

カーブが上に凸（または下に凸）から下に凸（または上に凸）に変わるところですよね。

ringo2001 · Answer

微分係数が０になる点を「停留点」とよびますが、これは「極点」を除外した呼び名ではありません。
停留点は極点も含みますので、ご質問の条件には惜しくも合わないようです。
ご質問の点を指す名称があるかどうかわかりませんが、「極でない停留点」と呼ぶのではないかなと思います

ametsuchi · Answer

名前は知りませんが、「変曲点」ではないです。「変曲点」とは、ｆ’が極値を持つ点のことです。分かり易く言えば、曲率中心が入れ替わるところ。

y=x^3＋xを考えると、x=0では、y'<>０ですが、変曲点になってます。

「鞍点」はUmadaさんの説明のとおり。

Umada · Answer

鞍点ではありませんよ。
鞍点は例えば3次元中の曲面において、ある方向に沿ってでは極大、ある方向に沿ってでは極小となるような点のことです。その曲面の、その近辺の形状が鞍に似ているのでそう呼ばれるのでしょう。
例えば、峠の地形がこれに近いでしょうか。尾根に沿っては(高さの)極小点ですが、登山道に沿ってでは極大点となります。

ky33 · Answer

変曲点といったと思います

pancho · Answer

「鞍点」だったと思うのですが、なにぶん２０年以上前の知識なので、現役の方のフォローをお願いします。

以上。

微分係数が０で、極値でないところの呼び方

失礼しました。

はじめにametsuchiさん、y=x^3＋xを考えるとx=0では「小極値」です。

１変数関数に限定して考えているときは、「微分係数が０である変曲点」というのもありかもしれませんね。

えーと，結果的に「y=x^3でx=0の点」は変曲点にもなっているわけですが，質問の「微分係数が０ かつ 極値ではないような点（の集合）」は「変曲点の一部」にすぎないということですね。

「変曲点」です。

微分係数が０になる点を「停留点」とよびますが、これは「極点」を除外した呼び名ではありません。

名前は知りませんが、「変曲点」ではないです。

鞍点ではありませんよ。

変曲点といったと思います

「鞍点」だったと思うのですが、なにぶん２０年以上前の知識なので、現役の方のフォローをお願いします。

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えーと，結果的に「y=x^3でx=0の点」は変曲点にもなっているわけですが，質問の「微分係数が０　かつ　極値ではないような点（の集合）」は「変曲点の一部」にすぎないということですね。