青チャート 基本例題１０（分数式の恒等式）

次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。
-2x^2+6/(x+1)(x-1)^2=a/x+1-b/x-1+c/(x-1)^2

僕の解き方
まず分母を全て揃えます、その後、そろった分母の式（x-1)^2(x+1)
を掛けます。　そうすると、分数でない形になり、数値代入法
x=1,-1,2を代入します。
答えは解答と一致しました。

解説
分数式でも、分母を０とするｘの値（本問ではー１、１）を除いて、
すべてのｘについて成り立つのが恒等式である。与式の右辺を通分して
整理すると両辺の分母は一致しているから、分子も等しくなるように、
係数比較法または数値代入法でa,b,cの値を定める。このとき、分母を払った多項式を考えるから分母を０にする値x=１、ー１を代入してもよい。（以下省略）
検討　分母を０にする値x=-1,1を代入してよいかが気になるところであるが、これは問題ない。なぜなら、代入したのは、ｘ＝１、ー１でも成り立つ等式である。したがって、ｘにどんな値を代入してもよい。
そして、この等式が恒等式となるように係数を定めれば、両辺を（x+1)
(x-1)^2で割って得られる分数式も恒等式である。ただし、これはx=1、
-1を除いて成り立つ。

教えてほしい所
恒等式・・・含まれている文字にどのような値を代入しても、その等式
の両辺の値が存在する限り常に成り立つ等式を、その文字についての恒等式という。
この説明のその等式の両辺の値が存在する限りの部分がイマイチぴんとこないのでスルーしていたせいでこの解説を読んで混乱しています。
僕の解き方は解説のような解き方ではないんですが、明らかに０にしているので解き方としてマズイですか？？
また、なぜなら、代入したのは、ｘ＝１、ー１でも成り立つ等式である。という部分がサッパリ理解できません。
消しちゃいけないのに、なぜ０になるような数値でもいいのでしょうか？？
後、ただし、これはx=1、-1を除いて成り立つ。なのはなぜですか？？？

文章能力がないので非常に分かりずらいかもしれません。
意味がわからない部分があったら補足します。
教えて下さい。

No.2 回答者： felicior 回答日時： 2010/02/28 22:01

かっこが付いていないですが、

(-2x^2+6)/(x+1)(x-1)^2 = a/(x+1) -b/(x-1) +c/(x-1)^2　・・・（１）
という式ですね。分母を払うと
-2x^2+6 = a(x-1)^2 -b(x+1)(x-1) +c(x+1)　・・・（２）
という式になります。

「含まれている文字にどのような値を代入しても、その等式の両辺の値が存在する限り」
というのは、定義域の範囲ならどのような値でも、という意味です。
（１）の定義域は1,-1を除く実数xですが、
（２）の定義域はあらゆる実数xです。
つまり（１）が恒等式となる条件は（２）のそれよりも少しだけ緩いわけです。

まず（２）が全ての実数xについて成り立つようなa,b,cを求めます。
ここで、（２）を（１）から導いたように書くと語弊があるので、
とりあえず（２）は（１）とは関係なく唐突に出てきたように書きます。
求めたa,b,cに対して（２）が全てのxで成り立つならば、
そのa,b,cに対して（２）が1,-1以外のxで成り立つことは明らかなので、
この制限の下で（２）の両辺を(x+1)(x-1)^2≠0で割ることで、
（１）も同じa,b,cに対して1,-1以外のxで成り立つことが言えます。
こういう意味で、その解法は成り立つのだということでしょう。

No.1 回答者： Tofu-Yo 回答日時： 2010/02/28 16:39

その解説ではさらっと書いているみたいですが、本当は厳密に説明するのが非常に難しい問題だと思います。

もっと簡単な問題で考えて見ます。

x／(x-1)=ax／(x-1)　　(1)

が恒等式になるようなaを求めよ。直感的にa=1と答えはすぐにわかりますが、あえて数値代入法をしてみます。

x≠1である限りにおいて、(1)⇔x=ax
これにx=1を代入してa=1

矛盾した表現がありますよね。でも答えは合っている。
これをどう解釈するか、ですが、次のようにもっと(1)⇔x=axを詳細に考えてみましょう。

(1)⇔x×{(x-1)／(x-1)}=ax×{(x-1)／(x-1)}　　(2)

ここで、(x-1)／(x-1)を考えると、x=1は代入できませんが、x=1.1なら代入でき、値は1です。
更に、x=1.01も代入できて値は1です。x=1.001、1.0001も同様に値は1です。このように「x=1に等しくないが限りなくそれに近い値」ならば代入できて必ず(x-1)／(x-1)=1となります。

したがって、(2)に「x=1に等しくないが限りなくそれに近い値」を代入すると、（1ではないが限りなくそれに近い値）×1=（aではないが限りなくそれに近い値）×1となり、代入するxの値が1に近ければ近いほど、これは1=aと言っているのに近くなります。これは結局、x=1を単純に代入して1=aを導いたかのようなことと同じになり、結果として上記の「これにx=1を代入してa=1」が正しかったことになるのです。

ただし、個人的には「極限」を習得しない限り、試験等でこの議論の正当性を完璧に説明するはあまりにも難しいと思います。ですので、記述式の解法としては自分はあまり薦めたくありません。ちなみに「極限」をつかって解くと、

lim(x→1)[x×{(x-1)／(x-1)}]=lim(x→1)[ax×{(x-1)／(x-1)}]
⇔1=a

と、前述のロジックを誰が見ても正しいように簡単に記述できます。