電磁波と量子力学の波について

Question

今まで僕は電磁波というと、
例えば光子の波動関数の絶対値^2が、その状態に存在する確率であり、同じ状態のフォトンが多数集まって結果的に波動関数^2の形を作り、たまたま光子の波動関数が縦波だったので電磁波は縦波として伝わるのだと思ってました。これは間違いでしょうか？

つまり電磁波と波動関数（マクスウェル方程式から出てくる関数）と光子の波動関数（シュレディンガー方程式から出てくる関数）は全くの別物なのでしょうか？それとも何か関係があるのでしょうか？

よろしくお願いします。

guiter · Accepted Answer

> 「電磁波のエネルギーは振幅の2乗に比例する」ということと
> 電磁波のエネルギーはE=hνで表されることは
> どう捕らえれば良いのでしょうか？
内容が場の量子論になるのでなかなか難しいです．
量子力学ではこれを説明することは出来ません．

量子力学では波動関数を計算することで
電子などの粒子の振る舞いを調べました．
この発想を電磁波に適用します．

しかし(古典的に)電磁波は粒子ではなく波ですから，
そこから新しい理論によって粒子像を導くことになります．
今は波長は特定のものを選ぶとすると決まっていないのは波の振幅です．
そこで，いろいろな振幅を持つ波の状態が共存していると考えます．

このように，場の理論では電磁波は最初から波と考えられ，
その振幅に対する共存度に量子論の原理が導入されました．
（量子力学では粒子の位置に対する共存度を考え
波動関数が導入されています．）

すると，振幅の共存度がとびとびの値をとることがわかりました．
したがって，波のエネルギーは（hνではなく E∝(Af)^2 のほうです）
振幅から決まるのでとびとびの値をとることになります．
どのような値をとるかは計算により 0,ε,2ε,… のように
エネルギーが等間隔に並ぶことがわかります．

そのことから，エネルギーが nε のときは ε という
エネルギーを持つ粒子 n 個の集合というように
電磁波を粒子として解釈できます．
実際，ε の値はもとの電磁波の振動数に比例し，
その比例定数はプランク定数に等しいことがわかりました．
アインシュタインの光量子説がより深い原理から導かれたわけです．

すなわち，電磁波は E=hν というエネルギーを持った
光子の集団であることが導かれたのです．
光子１つの位置は特定できませんが，
多数の光子の共存度の分布が電磁波の形をしているということです．

ちなみに，光子の共存度の時間的変化が電場に，
空間的変化が磁場に対応します．


grothendieck さん：
S行列は量子的なある状態から別の状態に遷移する確率が
どのようになっているかを表すものです．
したがって，ユニタリー行列となっています．
また，始状態や終状態は量子的なものですから
スピンや場合によってはストレンジネスなど量子的な成分も入ってきます．

KENZOU · Answer

浅学を省みず一言。guiterさんの言われたことを少し数学的に表現しますと、電磁波は電場と磁場が光速度(真空中）で伝わる波ですね。そこで電場、磁場をフーリエ変換すると波の振幅部×振動数部という形に表現できます。振幅と振動数は独立した物理量ですから、振幅は量子力学でいうところの粒子像に、一方振動数部はその波動像に相当すると考えることができます。このように焼きなおした物理量でMaxwellの方程式を書き換えますとなんと振幅部がよく知られた調和振動子(２つの粒子がバネで結ばれて振動している)の方程式を満たします。つまり、電磁場は調和振動子の集合であると記述することができます（相互作用のない場合）。量子力学で調和振動子は飛び飛びのエネルギーをとることは良くご存知と思いますが、先ほどの電磁場の調和振動子の方程式を量子化しますと、まさに飛び飛びのエネルギーをもった１個、２個・・・という粒子（光子）像がでてきます。
ところでシュレーディンガーの波動関数ですが、これをフーリエ変換し、上と同様に再度量子化（第２量子化）すると、これまた調和振動子の方程式がでてきます。つまりシュレーディンガーの波動方程式も調和振動子という粒子像を内包しているのです。
整理しますと、光子は量子化されたＭａｘｗｅｌｌの方程式で記述され、電子はシュレーディンガーの方程式（相対論的にはＤｉｒａｃの方程式）で記述され、さらに第２量子化を施すと粒々の粒子像が得られるということになります。
→以上、えらそうなことを書きましたが、上で述べたことはあまり自信がありません（スミマセン)。数学的な詳しい記述は確か高橋康著「物理数学(1)」（講談社）に書かれていたと思いますので、図書館で一度参照されればいかがでしょうか。

noname#108554 · Answer

J.J.SakuraiのAdvanced Quantum Mechanicsの
32ページから36ページあたりにこのへんのことが
書かれていると私は踏んでいるのですが
なにぶん私は場の量子論は挫折しましたので
よくわかりません。

質問の意味は、
「電子の存在確率+電流を4元vectorの形で
与えたときの周囲の空間の光子の分布」
をどうやって求めるのか？でいいでしょうか？

こうして定式化してもやっぱりわからないんですけどね。

Mell-Lily · Answer

シュレーディンガー方程式は、電子の波動関数であって、光子の波動関数ではありませんね。光子の波動関数は、マクスウェルの方程式でいいのですが、光と電子の量子理論としては、量子電磁力学というものがあります。

grothendieck · Answer

ご質問の意味がつかみにくいのですが、電磁波は光子の確率振幅とみなせるかという問題と考えてよろしいのでしょうか。(なお、縦波とあるのは横波の間違いではありませんか)
　エネルギーの流れの密度は c(E×H) で表わされるので電磁波の振幅の2乗に比例します。振動数が一定ならばエネルギーは光子の数に比例するはずなので電磁波を光子の確率振幅のように考えて良いでしょう。ただしこれは古典論の話です。量子論では光子の散乱はS行列で表わされるので、電磁波との関係が明確ではありません。私は前にS行列が E×H のようなものになるのかという質問をここでしましたが誰も答えてくれませんでした。なおボゾンは古典場を持ち、フェルミオンは古典場を持たないということは一般にいえることの様です。

電磁波と量子力学の波について

> 「電磁波のエネルギーは振幅の2乗に比例する」ということと

浅学を省みず一言。

J.J.SakuraiのAdvanced Quantum Mechanicsの

シュレーディンガー方程式は、電子の波動関数であって、光子の波動関数ではありませんね。

ご質問の意味がつかみにくいのですが、電磁波は光子の確率振幅とみなせるかという問題と考えてよろしいのでしょうか。

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