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因数分解 解説お願いします!
高1の因数分解です。
(1)a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

(2)x^3+3xy+y^3-1
解説が無く、解法の過程だけだったので、
出来るだけ詳しく解説していただけると幸いです。
新入生テストが近いので、よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

>解説が無く、解法の過程だけだったので、


>出来るだけ詳しく解説していただけると幸いです。
解答と解法の過程が手元にあるなら、それを伏せて丸投げしないで、
質問者さんの考えたことを加えて、それを補足に書いてそのどこが分からないのか
具体的にお書きください。

(1) (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)
解答の形が分かっているので aについて整理したら(b-c)が括りだけます。
(b-c)を括りだした、残りの式をbについて整理すれば(a-c)で括りだせます。
(a-c)も括りだした、残りの式をcについて整理すれば(a-b)で括りだせます。
(a-b)を括りだせば、残りの因数が出てきます。

(2)
x^3+3xy+y^3-1=(x+y)^3-1-3xy(x+y-1)
=(x+y-1){(x+y)^2+(x+y)+1}-3xy(x+y-1)
=(x+y-1){(x+y)^2+(x+y)+1-3xy}
=(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)
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(1)


・aで整理すると
(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+b^3c-bc^3
=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b-c)(b+c)
・(b-c)でくくる
=(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}
・後ろの{・・}をbで整理
=(b-c){(c-a)b^2-(ac-c^2)b+a^3-ac^2}
=(b-c){(c-a)b^2-(a-c)bc+a(a^2-c^2)}
=(b-c){(c-a)b^2+(c-a)bc-a(c-a)(c+a)}
・(c-a)でくくる
=(b-c)(c-a){b^2+bc-a(c+a)}
=(b-c)(c-a)(b^2+bc-ac-a^2)
・b^2-a^2、bc-acをそれぞれ分解
=(b-c)(c-a){(b+a)(b-a)+c(b-a)}
・(b-a)でくくる
=(b-c)(c-a)(b-a)(a+b+c)


(2)
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)なので
x^3+y^3+3xy-1
=(x+y)^3-3xy(x+y)+3xy-1
・ちょっと入れ替え
=(x+y)^3-1-3xy(x+y)+3xy
・後ろ2項を-3xyでくくる
=(x+y)^3-1-3xy(x+y-1)
・前2項を3乗公式で分解
=(x+y-1){(x+y)^2+(x+y)+1}-3xy(x+y-1)
・(x+y-1)でくくる
=(x+y-1){(x+y)^2+(x+y)+1-3xy}
・後ろを展開、整理
=(x+y-1)(x^2+2xy+y^2+x+y+1-3xy)
=(x+y-1)(x^2-xy+y^2+x+y+1)
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(1)


aで整理して
(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+bc(b^2-c^2)
=(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)}

このあと,因数定理をつかう.「新入生テスト」ということは,
高校1年生? 因数定理は無理か?

中括弧の中の式で,a=b とすると,ゼロになるから,(a-b)を因数にもつ.
a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c) を(a-b)で割って,
商a^2+ab-(b+c)c

与式=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)

(2)
与式=x^3+y^3+(-1)^3-3xy(-1)
と変形して
公式a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
をつかう.
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(1)a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)



aの次数で整理して、
a^3(b-c)-a(b^3-c^3)+b^3c-bc^3
=a^3(b-c)-a(b-c)(b^2+bc+c^2)+bc(b-c)(b+c)
=(b-c){a^3-a(b^2+bc+c^2)+bc(b+c)}
=(b-c){b^2(c-a)+bc(c-a)-a(c-a)(c+a)}
=(b-c)(c-a){b^2+bc-a(c+a)}
=(b-c)(c-a){c(b-a)+(b-a)(b+a)}
=(b-c)(c-a)(b-a)(c+b+a)
=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)

別解として、
a=bとすれば与式=0となるので、(a-b)で割り切れることが分かります。
同様に、(b-c)、(c-a)でも割り切れます。
あとは、与式を(a-b)(b-c)(c-a)で割ってやれば、-(a+b+c)が出てくるはずです。


(2)x^3+3xy+y^3-1

x,yについて対称なので、
s=x+y、t=xyと置くと、
s^3=x^3+3x^2y3xy^2+y^3=x^3+y^3+3st
なので、x^3+y^3=s^3-3st

与式=s^3-3st+3t-1
=s^3-1-3st+3t
=(s-1)(s^2+s+1)-3t(s-1)
=(s-1)(s^2+s+1-3t)
=(x+y-1)(x^2+2xy+y^2+x+y+1-3xy)
=(x+y-1)(x^2-2xy+y^2+x+y+1)
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