複素関数の問題

複素関数の問題
複素平面上の点A(1),B(i)を結んだ線分AB上をzが動くとき，w=z^2+2zはどのような図形上を動くか？(zは複素関数,iは虚数)という問題で，z=1-t+it　(0≦t≦1，t∈R)
とパラメータtでzを置いたり，w+1=(z+1)^2としてみたりしたのですが，どのような図形上を動くのかがわかりません．
どなたか教えていただけないでしょうか??

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/04/20 01:29

複素平面をxy座標平面で表せば図形が分かるのでは？

w=(z+1)^2-1　に　z=1-t+it　(0≦t≦1)を代入して
w=(2-t+it)^2-1=(t-2)^2-t^2-1+i2t(2-t)=3-4t+i2t(2-t)=u+iv
u=3-4t…(A), t=(3-u)/4
v=2t(2-t)=(3-u)(5+u)/8=-(1/8)(u+5)(u-3)=-(u^2+2u-15)/8
これは上に凸の放物線で動く範囲は
(0≦t≦1)と（A)から　放物線の範囲は
(3≧u≧-1)の範囲
となります。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/21 13:58

＞ パラメータ t を消せばよかっただけなんですね。

最初に言ったとおりです。

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2010/04/20 22:26

#3,#4です。

A#4の補足の質問の回答
>パラメータtを消せばよかっただけなんですね．
そうです。
>図まで書いていただきわかりやすくありがとうございます．
どういたしまして。

>あと，さらに質問になってしまうのですが，この図はなんてソフトで書きましたか??
>レポート等で，グラフを書くのに苦労していまして・・・．
フリーソフトのGRAPES（参考URL参照）というソフトでプロットし、そのグラフを「Prt sc(PrintScreen）」でクリップボードで画像を取り込み、それをWindows内蔵の「ペイント」に貼り付けて加工編集してJPGファイルとして保存して作成しアップしました。
レポート等ではJPGファイルでは画像が綺麗でないのでPNGファイルで保存した方がいいですね。

参考URL：http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2010/04/20 08:08

#3です。

図中の式で1/8倍の転記ミスの訂正です。
誤：v=-(u+5)(u-3)
正：v=-(u+5)(u-3)/8

この回答へのお礼

パラメータtを消せばよかっただけなんですね．
図まで書いていただきわかりやすくありがとうございます．

あと，さらに質問になってしまうのですが，この図はなんてソフトで書きましたか??
レポート等で，グラフを書くのに苦労していまして・・・．

お礼日時：2010/04/20 11:16

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2010/04/20 01:25

w=3-4t+i(t-2t^2)

=X+iY
X=3-4t
Y=4t-2t^2
tを消去して
Y=-(x-3)(x+5）/8 (-1≦x≦3)
すなわち放物線の一部

計算はチェックしてください。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/20 01:23

x = Re w

y = Im w と置いて、
t を消去。