数学において「無限」はどのように定義されているのでしょうか？

数学において「無限」はどのように定義されているのでしょうか？

題のとおりです。
できるだけ数式を使わないで詳しく教えてほしいです。

あと、「無限」に関する様々な事(四則演算とか)も、できたら、数式をあまり使わないで簡単に教えてほしいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2010/05/19 13:32

「無限」には，無限の種類があるので面白い対象です.

しかし，現代数学でも，「無限」という用語そのものを直接に定義した，
ということは聞いたことがありません．ですから，
「無限」という数学用語の定義は無いと思います．

自然数，１，２，３，４，５，・・・　と
実数（自然数，整数，有理数，無理数，などを含む）とを一対一で比較すると，
実数が自然数より多く，「実数の無限」が「自然数の無限」より大きい無限であることが，
証明されています．これは，集合論という分野です．
「実数の無限」とか「自然数の無限」とかは，適切な書き方ではありませんが，
集合論では，これを「実数の濃度」や「自然数の濃度」の様に「濃度」という言葉を使います．

また，「集合Ａ」と「集合Ａの部分集合全体の集合Ｂ」の大きさ（濃度）を比べると
常に Ａ＜Ｂ で，「部分集合全体」のほうが大きくなります．
これは，無限集合でも有限集合でも同じです．
これが，「無限」には，無限の種類がある　　ということの意味です．

以上は，数学的厳密性を抜きにした話です．おおざっぱで直感的な言い方です．
興味があれば集合論を勉強した下さい．集合論は無限を直接扱いますから．

No.6 回答者： B-juggler 回答日時： 2010/05/30 01:20

まぁ、ご覧になられるかは別として。

代数学の分野で、群論と言うのがあります。

そのなかで、要素（集合の中身のことです）が無限にあるよ！

と言うのがありますので、それで四則演算のほうを考えるとしましょうか。

群論の詳しい説明は省きますが、一個だけやっておかないといけないことがあります。

「集合の中から、２つ持ってくる　→　決めた四則演算（これは何でもいいんだけど）を

計算する　→　その結果が必ず、元の集合の中に入っていなければならない」

このルールがあって（２項代数のルールですけれど）、これが大事です。


で、プラス　足し算を考えましょう。

集合は、｛０，±１，±２・・・・・・・｝　としておきましょう。

　＃これは整数の加群です

何でもいいので二つ取ってきて足し算をします。

２３＋２８＝４１　これは元の集合に入ってますね。

ものすごくでかい数字を取ってきても構わないわけですよ。

プラスの方向にもマイナスの方向にも、無限に数字はあるわけで・・・。

必ず集合の中に入っているんですね。

こういうところにも無限は出てきます。

今は、整数だけでしたが、足し算なら　複素数でも構いません。

行列でもダイジョウブ。


掛け算だと、０をどけなきゃいけないけれど、実数全体でダイジョウブです。

複素数はダメですが・・・。

引き算は足し算と一緒。割り算は掛け算と一緒。

言われている通り定義はないんですが、前提みたいな感じかもしれませんね。

そこには必ずあるはずだ！　と言う感じでしょうかね。


もう一個付け加えておくと、今度は素数。

素数は無限にありますよ♪　と言うのがあります。

背理法で証明するんだけど、掛け算と足し算を使います。

式がでてくるので書きませんが、まぁそれなりには面白くて＾＾；


こういうのは結構本職でも難しいよ　＾＾；

No.5 回答者： nag0720 回答日時： 2010/05/19 15:43

単に数学といってもいろんな分野があります。

集合論については＃４さんが説明しているとおりですし、幾何学では無限遠点を導入したものもあります。

微積分の解析学でいえば、

lim[x→0]f(x)　（xを無限に0に近づける）
lim[x→∞]f(x)　（xを無限に大きくする）
∫[0→∞]f(x)dx

などと使いますが、これは無限大や無限小という数を想定しているわけではありません。

lim[x→0]f(x)　や　lim[x→∞]f(x)
には厳密な定義があり、それには無限という言葉は使っていません。
興味があるなら「ε-δ論法」で調べてみてください。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/05/19 08:44

おはようございます。

過去の質問でも無限に関するものがありました。
一度、検索してみるものよいかと思います。

「四則演算」についてですが、これは成り立ちません。
そもそも「無限」というものは数としては扱えないものだという認識です。

たとえば、y＝ x^2と y＝ xという関数を考えると、これらはともに x→ ∞のとき ∞に発散します。
そこで x^2- xという「差」を考えてみると、グラフでいえば高さの差となりますが、
これもまた x→∞のとき ∞に発散します。（差は限りなく大きくなっていく）

同じように、y＝ x+ 1/xと y＝ xの 2つの関数を考えてみると
・x+ 1/x→ ∞ (x→ ∞)
・x→ ∞ (x→ ∞)

ですが、「差」を考えると
(x+ 1/x)- x＝ 1/x→ 0 (x→ ∞)

となります。
単純に ∞- ∞＝ 0というわけではありません。


また、「無限」の「大きい・小さい」という評価がありますが、あれは個々に数え上げるのではなく、
「1対 1対応するか・しないか、しないなら、どちらが余るか」という比較をおこなうことで評価しています。
この内容については、過去の質問の URLを付しておきます。参考まで。

参考URL：http://okwave.jp/qa/q5208977.html

No.2 回答者： cznut9 回答日時： 2010/05/19 06:27

無限に数列が続く、と使われるので

日常使う意味とおなじ、かぎりなくです。
単純なので詳しい説明はありません。

この回答への補足

「数学的」に教えてほしいのですが・・・。

補足日時：2010/05/19 07:49

No.1 回答者： nicmane 回答日時： 2010/05/19 06:11

無限とは、限りの無いことである。

直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい。

数学的には、いかなる数よりも大きいさまを表すものであるが、より明確な意味づけは文脈により様々である。例えば、どの実数よりも大きなある特定の“数”と捉えられることもある（超準解析や集合の基数など）。また、ある変量がどの実数よりも大きくなるということを表すのに用いられることもある（極限など）。無限大をある種の数と捉える場合でも、それに適用される計算規則の体系はひとつだけではない。実数の拡張としての無限大には ∞(+∞) と －∞ がある。大小関係を定義できない複素数には無限大の概念はないが、類似の概念として無限遠点を考えることができる。また、計算機上ではたとえば∞+iのような数を扱えるものも多い。