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A,Bをn次正方行列とする場合、|A B B A|=|A+B||A-B|を証明したいのですが。

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A 回答 (1件)

最初、質問の意味が全く解らなかったのですが、


次の質問 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5907606.html
と見くらべると、どうやら、2n 次の行列式
|A  B|
|B  A|
のことを言っているようですね。それなら、値は
|A+B||A-B|
と等しくなります。なるほどね。

行列式の基本変形をしてみましょう。
|A  B|
|B  A|
の第 n+k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 k 列へ加えると、
|A+B  B|
|B+A  A|
となります。更に、
第 k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 n+k 列から引くと、
|A+B  B|
|O  A-B|
です。

このブロック三角行列の行列式が、行列式の積
|A+B||A-B|
になることは、Σ を使った行列式の表示
(http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix …
のような…)に、
左下の 0 となる成分を代入してみれば、確認できます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。助かりました。最後のkは行で良いですよね。
こういう問題をひょひょいと解かれるのは、凄い能力ですね。
もしお時間ございましたら、是非、もう一つの方も見て頂けますと凄く助かります。
ウェブで書けなかったのですが、
|A B|
|C D|=|AD-CB|になります。

お礼日時:2010/05/20 22:29

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Q行列式 |AB|=|A||B| の証明

|AB|=|A||B| の証明について質問します。
この証明では線形性と交代性をもつ関数F(a1,...,an)とその定理

F(a1,...,an)= F(e1,...,en)|A|・・・(1)

を使います。

[証](しばし証明にお付き合いください)
Bの列ベクトルを b1,...,bnとすれば、

|AB|=D(Ab1,...,Abn).

この右辺をF(b1,...,bn)とおく。定理(1)により

F(b1,...,bn)=F(e1,...,en)D(b1,...,bn)
        =F(e1,...,en)|B|

Aの列ベクトルをa1,...,anとすれば、Aej=aj であるから、

F(e1,...,en)=D(a1,...,an)=|A|・・・(*) ■

証明の最後の行にある(*)で
F(e1,...,en) と D(a1,...,an)が等しいというのが分かりません。

説明していただけないでしょうか、お願いします。

Aベストアンサー

定義通りです。

F(b1,....,bn)=D(Ab1,.....,Abn)
より
F(e1,....,en)=D(Ae1,.....,Aen)=D(a1,.....,an)
∵Aej=aj

Qn次正方行列Aが正則であることの定義を述べよ。

n次正方行列Aが正則であることの定義を述べよ。
(逆行列を用いて定義するときは、その定義も述べよ。)
という問題があるのですが回答は

n次正方行列Aに対して
AX=XA=En(n次単位行列)
をみたすn次正方行列XがあるときAは正則であるといい、
このときの行列XをA-1(Aインバース)と表して
「Aインバース」と読みAの逆行列という。

これで合ってますか?

あと
n次正方行列Aが等式A^3+A-E=0を満たすとき、
Aは正則であることを示せ。
またA-1をAおよびEを用いて表せ。
この問題が分かりません。

どなたか宜しくお願いします。

Aベストアンサー

正則性の定義は、貴方のものでも良いし、
det A ≠ 0 や rank A = n でも良い。
ただし、流れから言って
det や rank の定義を書き添える必要がありそうだから、
貴方の定義のほうが、簡潔で書き損じが生じ難いと思う。

> これって XA = E は
> 示さなくても正則といえるのでしょうか?

(A^2 + E)A = E と書いとけば良い。
あるいは、定義のほうを AX = E だけにしておく手も。

ケイリー・ハミルトンの定理より、
A に逆行列が在れば、それは A の多項式で書ける
ことが解るから、逆行列は A と可換になる。

Q行列の積の可換条件

線形代数で二つのn次正方行列が可換になる条件とはどんなものなのか?
特に対角化できない行列Aに対し、交換可能な行列Bはどんなものか?
それについて詳しく書いてある本を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

 本じゃないですが、
http://www.junko-k.com/collo/collo185.htm
...は一つの手がかりになるかも知れません(参考文献を含む)。

 対角化不可能な場合に関しては、ちょっと考えが浮かばないですね。
 数学的には興味深い問題だと思います。

 ホンの露払いまで。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

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まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
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また、微分で
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つまり、
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=-1/x+C

です。

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q弧長パラメータとは何?

弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換することによって得られるそうですが、何故そうやって求められるのでしょうか?そもそも、弧長パラメータの概念が今一つ分からないです。

例えば、
x(t)=(asint,acost,bt)
の曲線があるとして、
これの長さ関数は
x'(t)=(acost,-bsint,0)より
int(0,t)||(x'(t))||dt
=int(0,t)sqrt(a^2+b^2)dt
=sqrt(a^2+b^2)t
より、t=x/sqrt(a^2+b^2)
ですから、x(t)の弧長パラメータ表示関数は、
x(s)=(asin(a/sqrt(a^2+b^2)),acos(s/sqrt(a^2+b^2)),
bs/sqrt(a^2+b^2))
となると解釈して宜しいのでしょうか?

分かる方がいましたら、回答宜しくお願いします。

Aベストアンサー

#1のKENZOUです。パソコンの調子がおかしくなり(←今もおかしいので古いのを使っている),レスが遅れました。

>長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
 r(t)=(x(t),y(t),z(t))
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと,それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
 dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
 s=∫[0,t]|dr/dt|dt
つまりsはtの関数となります(←当たり前か)。時間tと共に距離sは(途中で止まることが無ければ)単純に増加していきますので,sはtの単調増加関数ということになり,tをsの関数として書くことが可能ですね。この結果
 r=r(t)=r(s)=r(x(s),y(s),z(s))
と表すことができます。つまり曲線rをパラメータsを使って表すことになりますので,このsを孤長パラメータと呼んでいます。

>tの関数をsの関数に変換したといったことになるのでしょうか?
仰る通りと思います。

#1のKENZOUです。パソコンの調子がおかしくなり(←今もおかしいので古いのを使っている),レスが遅れました。

>長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
 r(t)=(x(t),y(t),z(t))
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと,それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
 dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
 s=∫[0,t]...続きを読む

Q線形代数の余因子行列の求め方。

見づらくて申し訳ないのですが、
下の3行3列の行列の余因子行列の求め方を教えてください。

  | 3 -2 1 |
|A|= | 1 4 7 |
| 5 3 6 |


(数字の両端の棒は、1行目から3行目まで絶対値です・・・)
表示がうまくいかないので、
1行目が1列目から3 -2 1 で、
2行目が1 4 7 で、
3行目が 5 3 6 の数字です・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

もとの行列をA=[a(i,j)]とすると
Aの余因子行列とは
(i,j)成分がa~(j,i)となる行列で
A~で表します

ようはAの各成分の余因子を全部求めて
転置行列みたいな感じで並べればいいだけです

まずa~(1,1)とa~(2,1)を求めて見ると
a~(1,1)=(-1)^(1+1)*3=3
a~(2,1)=(-1)^(2+1)*(-15)=15
よって
求めるA~の
(1,1)成分が3
(1,2)成分が15
となります
あと7回同じ作業を繰り返せば終わりです
余因子の求め方がわからなければURLを参考

参考URL:http://aglaia.c.u-tokyo.ac.jp/~yamamoto/Math/system/node8.html

Q3点を通る平面の方程式を行列式で表す

行列式について勉強していたのですが、分からない部分があったので質問させてください。

一直線上にない3点 (a,b,c) (d,e,f) (g,h,i) を通る平面の方程式を求める、という問題です。

まず求める平面の方程式を
   Ax + By + Cz + D = 0 …(1)
と置きます。

この方程式は上の3点を通るので
   Aa + Bb + Cc + D = 0 …(2)
Ad + Be + Cf + D = 0 …(3)
Ag + Bh + Ci + D = 0 …(4)
の3条件を満たします。

上の4つの式について、A~Dは全て0ではない、つまりこれは非自明な解をもちます。

したがって行列式
     |x y z 1|
     |a b c 1|
     |d e f 1|
     |g h i 1|
が0となります。


ここまでは分かったのですが、教科書ではこの(行列式)=0 が求める平面の方程式と述べています。

しかし(行列式)=0 はあくまで(1)~(4)が非自明解を持つ条件なので、そうなる理由が分かりません。
(1)~(4)の連立方程式を解き、その非自明な解(A,B,C,D)を(1)に代入した結果が求める方程式だと思うのですが…


分かる方いましたら回答よろしくお願いします。

行列式について勉強していたのですが、分からない部分があったので質問させてください。

一直線上にない3点 (a,b,c) (d,e,f) (g,h,i) を通る平面の方程式を求める、という問題です。

まず求める平面の方程式を
   Ax + By + Cz + D = 0 …(1)
と置きます。

この方程式は上の3点を通るので
   Aa + Bb + Cc + D = 0 …(2)
Ad + Be + Cf + D = 0 …(3)
Ag + Bh + Ci + D = 0 …(4)
の3条件を満たします。

上の4つの式について、A~Dは全て0ではない、つまりこれは非自明な解をもちます。...続きを読む

Aベストアンサー

(1)~(4) が非自明解 A,B,C,D を持つ
⇔ (a,b,c),(d,e,f),(g,h,i,),(x,y,z) の4点を含む平面が存在する

なので、その必要十分条件は、
(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i,) と同一平面上にある (x,y,z) の範囲を表します。
それが、求めるべき平面の式です。

その条件を、再度 (1) に代入してしまったら、恒等式 0 = 0 になってしまいます。

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む


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