境界条件のある偏微分方程式の解き方

偏微分方程式　uxy(x,y)=0　を解き、
境界条件u(x,0)=cosx, u(0,y)=y を満足する解を求めよ

という問題で、教科書に載っている解説と解答が、

一般解はu(x,y)=f(x)+g(y) である。 ―①
u(0,y)=f(0)+g(y)=y ⇔　g(y)=y-f(0)
この式を①に代入すると、u(x,y)=f(x)+y-f(0) ―②

②にy=0を代入すると、
u(x,0)=f(x)-f(0)=cosx ⇔　f(x)=cosx+f(0)　―③

③を②に代入して、　u(x,y)=cosx+y

このようになっているのですが、解答の式にx=0を代入すると、
u(0,y)=cos0+y=1+y となってしまい、境界条件に反してしまいます。

教科書の誤植でしょうか？
それとも考え方の過程に間違いがありますか？

ご回答いただけますと幸いです。
よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2017/01/25 23:05

> 境界条件u(x,0)=cosx, u(0,y)=y

に問題があるように思えます．
u(0,0) を見てみると，
u(x,0)=cosx からは u(0,0) = 1 となるのに対し,
u(0,y)=y からは u(0,0) = 0 となってしまいます．
すなわち，境界条件が矛盾しています．

もちろん， u(x,y) は原点が特異点になっている
(どういう風に原点に近づくかで極限値が異なる)という可能性もありますが，
> 教科書に載っている解説と解答が、
ということですので，単純に問題の作成ミスではないでしょうか．

もし 境界条件が u(x,0)=sin x, u(0,y)=y でしたら
同じように解いて
u(x,y) = sin x + y
が答になりますね．

この回答へのお礼

せっかくご回答いただいていたにもかかわらず、
お礼が大変遅くなってしまい、申し訳ありません！

やはり境界条件そのものがおかしかったのですね。
ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/04 12:01