積分 ∫[(x^2-1)/{x(x^2+1)}]dx の積分の仕方をご

積分　∫[(x^2-1)/{x(x^2+1)}]dx　の積分の仕方をご教授ください。
部分分数分解や、あるいは、分子の辻褄合わせと　∫{1/(x^2+1)}dx=arctan(x) との組み合わせを使ってできそうでもあるのですが、元の式の形がわりときれいであるために、もっと手短に解ける方法があるような気がします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Ginzang 回答日時： 2010/05/29 18:32

∫{ 1/(x^2+1) }dx = arctan(x) は使わない。

これは、素直に部分分数分解で求めるべき積分である。

積分すると、
∫[ (x^2-1)/{x(x^2+1)} ]dx
= ∫[ 2x/(x^2+1) - 1/x ]dx
= ln(x^2+1) - ln|x| + C
（C は積分定数）となる。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/29 19:34

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/29 19:28

確かに。

部分分数分解する前に
y = xの2乗 で置換すると、
次数が減って、少し気が楽になるね。

この回答への補足

あと、arctanは思い違いでした。失礼しました。

補足日時：2010/05/29 19:40

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お三方のご回答を拝見いたしましたところ、部分分数分解のほかに有効な方法はないようですので、真っ正面から部分分数分解をしたいと思います。
お付き合いいただきありがとうございました。

お礼日時：2010/05/29 19:38

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/05/29 18:32

>元の式の形がわりときれいであるために、もっと手短に解ける方法があるような気がします。

>部分分数分解
が最も確実かつ手短に解ける方法だと思います。色々考える前に

部分分数展開法でまずやって見て下さい。分からなければ分かるところまで補足に書いて分からないところを訊いて下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/29 19:33