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(-π,π)上で次の関数のフーリエ級数を求めよ、という問題なのですが
絶対値のxの扱い方が分かりません。|x|って偶関数と見ていいのでしょうか。

(1)f(x)=πー|x|
(2)f(x)=x(πー|x|)
(3)f(x)=sin|x|
できれば解き方と一緒に教えてください。

A 回答 (2件)

(1),(3)はf(-x)=f(x)なので遇関数。


偶関数のフーリエ級数展開の公式を適用して計算すれば良いですね。
bn=0 (nは1以上の整数)
(1)
a0/2=π/2
an=(2/π)∫[0,π](π-x)cos(nx)dx (nは1以上の整数)

(3)
a0/2=(1/π)∫[0,π] sin(x)dx=2/π
an=(2/π)∫[0,π] sin(x)cos(nx)dx (nは1以上の整数)

(2)はf(-x)=-f(x)なので奇関数。
奇関数のフーリエ級数展開の公式を適用して計算すれば良いですね。
an=0 (nは0以上の整数)

bn=(2/π)∫[0,π] x(π-x)sin(nx)dx (nは1以上の整数)

上のan,bnの積分計算は簡単なので出来ますね。

もし積分がわからないときは補足にやった途中計算を書いて行き詰った所を訊いて下さい。
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この回答へのお礼

全部できました。ありがとうございます。

お礼日時:2010/06/01 21:05

高校数学の時と同じ考え方で良いと思います。


絶対値の記号は外してしまいましょう。

xが負の数の時(x < 0の時)、|x| = -x。
xが0以上の数の時(0 ≦ xの時)、|x| = x
です。
なので例えば(1)なら

f(x) = π + x (x < 0)
f(x) = π - x (0 ≦ x)

と場合分けしてからフーリエ級数を考えれば良いのではないでしょう。
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この回答へのお礼

分かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2010/06/01 21:06

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