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曲面と点の距離

二葉双曲面の片側(z>0)と点との距離の求め方を教えてください。

例 x^2+y^2-Z^2+1=0 (3/√2,3/√2,-√2)

A 回答 (3件)

x^2+y^2-z^2+1=0…(1)


xdx+ydy-zdz=0
法線ベクトル:(x,y,-z)
(1)上の点(a,b,c)を通る法線(c>0)の媒介変数表現は
(x,y,z)=(a,b,c)+t(a,b,-c) (c>0) …(2)
これが点(3/√2,3/√2,-√2)
を通ることから
(3/√2,3/√2,-√2)=(a,b,c)+t(a,b,-c)
∴a= (3/√2)/(1+t), b=(3/√2)/(1+t), c=(√2)/(t-1) …(3)
c>0より t>1…(4)
(a,b,c)は(1)の点であるから(1)に代入して
{(3/√2)/(1+t)}^2+{(3/√2)/(1+t)}^2-{(√2)/(t-1)}^2+1=0
整理すると
t^4-5t^2-22t+8=0
(t-2)(t^3+2t^2+9t-4)=0
(t-2){(t-1)(t^2+3t+12)+8}=0
(4)より t>1なので{(t-1)(t^2+3t+12)+8>0
∴t=2
(3)より
 a=b=1/√2,c=√2
点(3/√2,3/√2,-√2)と二葉双曲面の片側(z>0)との距離Lは
は点(3/√2,3/√2,-√2)と点(a,b,c)=(1/√2,1/√2,√2)間の
距離であるから3平方の公式から
 ∴L=√(2+2+8)=2√3

図を添付します。
「曲面と点の距離」の回答画像2
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この回答へのお礼

図が添付してあり非常にわかりやすかったです
ありがとうございました

お礼日時:2010/07/11 10:11

NO1の者です。



4次方程式の導出に計算ミスがあったので、訂正します。
NO2の方がすでに名答を用意されていますが、念のため。

(誤)p^2+q^2-r^2+1=t^2(18-4/(2t-1)^2)+1=0
   ∴72t^4-72t^3+18t^2-4t+1=0 ・・・(※)
(正)p^2+q^2-r^2+1=t^2/2・(18-4/(2t-1)^2)+1=0
   ∴72t^4-72t^3+22t^2-8t+2=0 ・・・(※)

(※)は4次方程式で簡単には解き難い感じと思って
いましたが、t=1/3と1/2<t<1の間のtの2つの実数解
を持つようです(No2の方の回答の通り)。前者が求め
る解になっている点は回答NO1の通り。
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二葉双曲面F(x,y,z)=0の点(x,y,z)における法線ベクトル


=(∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z)=(2x、2y、-2z)

二葉双曲面上の点(p,q,r)と点(3/√2,3/√2,-√2)
を結ぶベクトルは、上記法線ベクトルと平行であることから、
(p-3/√2):(q-3/√2):(r+√2)=2p:2q:(-2r)
∴この比=k、1/(1-k)=tとおくと、パラメータtを用いて、
p=3t
q=3t
r=-2t/(2t-1)
を書ける。これを双曲面の式に代入、
p^2+q^2-r^2+1=t^2(18-4/(2t-1)^2)+1=0
∴72t^4-72t^3+18t^2-4t+1=0 ・・・(※)
これを解いてt、更に(p,q,r)を求め、点(3/√2,3/√2,-√2)
との距離を求めればよいです。

(※)は、0<t<1/2と、1/2<t<1にそれぞれ解を持ちますが、
片側(z>0)の条件から、前者の方になります。ただこの
4次方程式は簡単には解き難い感じですね。
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Q曲面(楕円)と直線との点の最短距離

偏微分のカテゴリに入っていた問題です。

楕円 3x^2+4y^2=12 と
直線 x+2y=9 との点の最短距離を求める。

答えは、楕円上の点(1,3/2)と直線状の点(2,7/2)との距離√5
です。

接線を求めて…
楕円=3x^2+4y^2-12=0
直線=x+2y-9
楕円の dy/dx= -6x/8y = -3x/4y
直線の dy/dx = -1/2
と試行錯誤はしてみたのですが、答えに辿りつきません。
解き方を教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ANo.2さんの方法でも計算できますが複雑になります。
偏微分を使わない方法を紹介します。

ANo.1さんのご指摘通り、作図してどのあたりが最短距離になるかを把握したほうがいいです。問題の楕円と直線は添付図の赤色になります。図を見れば一目瞭然で、これらの最短距離は線分ACです。ここで注意しなければならないのは、作図しないで微分計算だけでやると、線分BCを最短距離としてしまう恐れがあることです。作図すれば、x が負になるほうは最短でないということが分かるので、最長距離を求めてしまうという間違いを防ぐことができます。

直線と曲線が最短距離になるのは、曲線の傾斜が直線の傾斜と一致するところです。したがって接線を求めるのは間違いではありませんが、接線を求めなくても、傾斜だけ分かればいいのです。つまり、点Aでの楕円の傾斜は直線の傾斜(-1/2)と一致しているということから、点Aの位置を求めることができます。

楕円の式を y = と書き直せば
   y = ±(1/2)*√(12 - 3*x^2)
ですが、符号が-のほうは下半分の楕円なので、これは考える必要はありません(下半分を考えると点Cが出てきてしまいます)。したがってこれ以降、+符号だけを考えます。すると楕円の上半分は
   y = (1/2)*√(12 - 3*x^2) --- (1)
になります。これを x で微分したのが楕円の傾斜になります。
   傾斜 = dy/dx = -3*x/{ 2*√(12 - 3*x^2 ) }
これが直線の傾斜 -1/2 に等しくなる x は
   -3*x/{ 2*√(12 - 3*x^2 ) } = -1/2
   → x = 1
となります( x = -1 は最短距離を与える解ではありません)。点Aのy座標は式(1)から
   y = 3/2
となります。つまり点Aの座標は(1, 3/2 ) になります。図を見てもこの点がAの座標であることが分かります。

点Aから直線までの最短距離の求め方はいろいろありますが、A点から直線に下ろした垂線の足をCとしたとき、線分ACが最短距離になることを使って求めることができます。垂線と直線とは互いに直角なので、垂線の方程式は a を未知数として
   y = 2*x + a
で表わされます。これが点Aを通るので
   3/2 = 2*1 + a
が成り立ちます。したがって
   a = -1/2
つまり、垂線の方程式は
   y = 2*x - 1/2 --- (2)
となります。

垂線の方程式(2)が分かれば点Cの座標も分かるはずです。求める最短距離は線分ACの長さになります。

ANo.2さんの方法でも計算できますが複雑になります。
偏微分を使わない方法を紹介します。

ANo.1さんのご指摘通り、作図してどのあたりが最短距離になるかを把握したほうがいいです。問題の楕円と直線は添付図の赤色になります。図を見れば一目瞭然で、これらの最短距離は線分ACです。ここで注意しなければならないのは、作図しないで微分計算だけでやると、線分BCを最短距離としてしまう恐れがあることです。作図すれば、x が負になるほうは最短でないということが分かるので、最長距離を求めてしまうという...続きを読む

Q曲線と点の最短距離の出し方

曲線と点の最短距離の出し方について調べていますがわかりません。
最短距離にある曲線上の点が求められれば三平方で求められることはわかります。

例えば
y= -2x^2+16x-2
の曲線と
座標A(6,40)
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計算方法というか途中経過も含めて教えていただきたいです。

宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

曲線 y = -2x^2+16x-2 上の点の座標は (x, -2x^2+16x-2) と書けるから, この点と P との距離 (の 2乗) を最小化すればいい. 高校の微分の問題だな.

Q台形の重心を求めるには

上底a 下底b 高さ h とした場合、台形の重心をもとめる公式は、 (2a+b)/(a+b)*h/3 でよろしいでしょうか?

Aベストアンサー

計算してみました。
面積
 A=(a+b)h/2
下底周りの断面一次モーメント
 S=a・h^2/2 + (b-a)h^2/6
  =h^2(2a+b)/6

重心位置、S/Aですから、
 G=(2a+b)/(a+b) ・ h/3

合ってますね。

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Qダイヤモンドとグラファイトが平衡にある圧力

ダイヤモンドとグラファイトが平衡にある圧力を求めよという問題です。

ダイヤモンド 定圧燃焼エンタルピー -395.41kJ mol^-1 モルエントロピー 2.44J K^-1 mol^-1 密度 3.5 g cm^-3

グラファイト 定圧燃焼エンタルピー -393.51kJ mol^-1  モルエントロピー 5.69 J K^-1 mol^-1 密度 2.3 g cm^-3

(1) 298K 10^5 Pa においてダイヤモンドのモルギブスエネルギーはグラファイトのモルギブズエネルギーよりどれだけ大きいかを上の値を使って kJ mol^-1 を単位として求めなさい。

(2) 298Kでダイヤモンドとグラファイトが平衡にある圧力を計算しなさい。両相の体積は圧力を変えても変化しないと考えてよい。炭素の原子量は12.0である。

似たような問題を探したのですが炭素の原子量がどのように必要かうまく理解できておらず、この問題を解ければなんとなくイメージが付くと思い質問させて頂きました。
お手数ですが教えて頂けないでしょうか。

Aベストアンサー

>(2)は (∂ΔG/∂P)_T = ΔV この式をどう運用したらいいのかわかりません。

(∂ΔG/∂P)_T とΔVとΔGをPの関数と考えて、両辺をPで積分します。

 ∫(∂ΔG/∂P)_T dP = ∫ΔV dP

左辺は、置換積分の公式より

 ∫(∂ΔG/∂P)_T dP = ∫dΔG = ΔG(Pf) - ΔG(Pi)

となります。ここでPの積分範囲をPiからPfまでとしました。

右辺は、ΔVが圧力Pに依存しないのですから、ΔVを積分の外に出すことができて

 ∫ΔV dP = ΔV∫dP = (Pf - Pi)×ΔV

となります。

結局、(∂ΔG/∂P)_T = ΔV から

 ΔG(Pf) - ΔG(Pi) = (Pf - Pi)×ΔV …… (式1)

という関係があることが分かりました。

Pfをダイヤモンドとグラファイトが平衡にある圧力とすればΔG(Pf)=0となりますから、(式1)の未知数はPfだけになります。ですので、(式1)をPfについて解くと答えが求まります。

がんばって下さい。

Q球面と直線の交点

点P(Px,Py,Pz)から方向ベクトル(x,y,z)にのびた直線が、原点O(0,0,0)、半径rの球の表面と交わる点Qの座標を求めたいのですが、どなたか教えていただけないでしょうか。

O-P-Qの三角形を作ると、辺OPの長さ、辺OQの長さ(=r)と∠OPQの角度は求まるので、余弦定理から辺PQの長さが求まります。
辺PQの長さに方向ベクトル(x,y,z)を掛ければ、ベクトルPQが求まるので、ベクトルOP+ベクトルPQ=ベクトルOQが求まると思うのですが、間違っているでしょうか。

Aベストアンサー

なにやら難しいことをお考えのようですが、以下のようにやれば簡単です。

直線は、(X,Y,Z)=(Px,Py,Pz)+t(x,y,z)と表されるので、直線上の点(X,Y,Z)は、
 X=Px+tx
 Y=Py+ty
 Z=Pz+tz
である。(※)

これを球の方程式X^2+Y^2+Z^2=r^2に代入し、tの2次方程式を解いてtの値(2つ。ただし、接するなら1つ)を求め、※に代入すれば、Qの座標がわかる。

Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む

Q院試に失敗する人間はバカですか。

今年、T波大学[理系]とO府立大学[理系]の大学院入試を受けました。しかし、両方とも不合格でした。
院試はよほどのことがない限り失敗しないと聞きます。ここのカテゴリーでも目にします。
院試を不合格になる人間は大バカですか?理系の人間として腐っていますか?研究職を目指せるようなレベルの人間ではないのですか?二校[他大学]とも落ちて精神的におち込み、自分に全く自信が持てなくなりました。

Aベストアンサー

多少、辛口なのは性分なのでご容赦を。

倍率が高いと落ちることも多々あります。バカかどうかは関係ないですね。他の学生の方が点数を取れていた。ただ、それだけのことです。
私自身、第一希望のところはダメで、第二希望のところに拾っていただきましたし。おそらく、落ちる・落ちないのボーダー上にいると、運次第の部分が大きいのではないかと。問題の当たり外れもありますし。

他大学受験の場合、複数の学校・学部を受けるのはリスクもあります。どんな得意分野の教授がいるのかなどを把握して、過去問から傾向を読み解き、どういう勉強をすれば合格できそうかを自分なりに対策しなくてはなりません。2校以上となると、その手間は倍(勉強に関しては、倍とは限りませんが)。対策は十分にできていたのでしょうか。

院入試は通過儀礼にしか過ぎません。
合格しても、ついていけずに脱落する人もいます。
1回や2回落ちた程度で落ち込んで自信が持てなくなる程度なら、向いていないと言えるかもしれませんね。

実験を思い出してください。
目的、方法、結果、考察と手順を踏みますよね。院入試も同じでしょう?今回の目的は「大学院合格」。方法は…ご自身でどのような対策・勉強をしてきたか。結果は「不合格」。じゃあ、考察は?

失敗は誰しもあります。院浪人の話は表に出てこないだけであります。実験で失敗なんて、しょっちゅうです。でも、そのたびに自信を失うようなら、研究職なんて目指せません。

よかったじゃないですか。
ご自身にあったのは「自信」ではなくて「過信」だったということがわかって。

多少、辛口なのは性分なのでご容赦を。

倍率が高いと落ちることも多々あります。バカかどうかは関係ないですね。他の学生の方が点数を取れていた。ただ、それだけのことです。
私自身、第一希望のところはダメで、第二希望のところに拾っていただきましたし。おそらく、落ちる・落ちないのボーダー上にいると、運次第の部分が大きいのではないかと。問題の当たり外れもありますし。

他大学受験の場合、複数の学校・学部を受けるのはリスクもあります。どんな得意分野の教授がいるのかなどを把握して、過去...続きを読む

Q大学院入試でよく聞く噂について

早速質問です。

大学院入試(理系)について質問したいことがあります。
合格ラインについてなのですが、一応HPなどには成績上位から合格と書いています。ちなみに試験は
・英語
・専門
・面接の前に一次合格発表
・面接
・合格発表
という流れです。

(1)希望する研究室先の人数によって合格に影響する。(例えば希望者の多い研究室を希望したAさんと、他に希望者のいない研究室を選んだBさんの得点が50点と49点とした場合、面接点で調節してAさんは不合格でBさんを合格させる。)ということはあるのでしょうか?
得点結果は開示させるのでありえないかもしれませんが・・・


(2)面接では将来の研究について具体的に突っ込まれて聞かれる人は合格で、将来の研究テーマについてはほとんど聞かず、受験者が答えやすい質問をして気持ちよく答えさせ、答えたつもりでいるがそんな人は不合格という噂は本当なのでしょか?
これも一応は面接に進む前にわずかですが不合格者が出るので可能性としては低いのかもしれませんが・・・

(3)合格した場合、研究室にアポなしでも結果報告に行くべきでしょうか?それとも連絡をして後日いくべきでしょうか?

(4)よっぽどひどい点数でない限り合格するのでしょうか?合格者は定員の1.4倍ぐらいを取ると聞くのですが・・・(そのために第一志望の学校を聞く?)


変な日本語ですみませんが、気になっています。ぜひ教えていただければ幸いです。

早速質問です。

大学院入試(理系)について質問したいことがあります。
合格ラインについてなのですが、一応HPなどには成績上位から合格と書いています。ちなみに試験は
・英語
・専門
・面接の前に一次合格発表
・面接
・合格発表
という流れです。

(1)希望する研究室先の人数によって合格に影響する。(例えば希望者の多い研究室を希望したAさんと、他に希望者のいない研究室を選んだBさんの得点が50点と49点とした場合、面接点で調節してAさんは不合格でBさんを合格させる。)ということは...続きを読む

Aベストアンサー

私自身は大学教員ですが、
今から述べることは実際に採点や選考している者として言っていることではありません(選考するほど偉くないです)。

仮に、選考している人が見ているとしても、こんなところでべらべら言えるはずは無いです。なので、答えはあり得ないと思います。

ここで回答することは、
これまでの受験する側としての経験、受験した人との間で話したことに基づいたものです。

(1)無いです。
(2)無いです。
(4)まず、テストとは点数によって合格不合格を決めるためのものです。No1様もおっしゃっていますが、合格点数はそれぞれです。

(1)(2)(4)についてですが、まず大学院の試験というのは
これまでの受験とは全く異なるということを念頭におかねばなりません。
大学院では受験する前に、志望する研究室の先生に
「自分は~ことをやっている」「ここで~ことをやりたいと思っている」
「自分を受け入れてくれるのか」
などなどを、前もって話をすることが重要です。

このようなやり取りで、研究室の先生が
「いいよ、試験頑張って」とおっしゃるのか
「うちでは無理だよ(人数が多いから、専攻的に無理だと思う)」
とかおっしゃるのか
それ次第で、まず合格するかどうか(というか無理って言われたら受験しないですよね)決まります。

このやり取りこそが重要であり、こっちの方が、より「面接」なのです。

あとは、試験に合格するようにテストの点数を取る、面接を無難にこなす必要があります。
その基準は前述の通り、大学等によりけりです。

頑張って下さい。

私自身は大学教員ですが、
今から述べることは実際に採点や選考している者として言っていることではありません(選考するほど偉くないです)。

仮に、選考している人が見ているとしても、こんなところでべらべら言えるはずは無いです。なので、答えはあり得ないと思います。

ここで回答することは、
これまでの受験する側としての経験、受験した人との間で話したことに基づいたものです。

(1)無いです。
(2)無いです。
(4)まず、テストとは点数によって合格不合格を決めるためのものです。N...続きを読む


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