整数の個数について

整数の個数について

数学の問題集で『3桁の正の整数のうち、３で割ると１余る偶数の個数はいくつか』という問題の解説で、
『３で割ると１余る偶数は、６で割ると4余る数である』とあったのですが、
どう理屈でどう考えるとこれが導き出せるのかがわかりません。どのように考えればよいのでしょうか？

例えば、三桁の正の整数で、３で割り切れる数であり、かつ、偶数(２で割り切れる数)の個数、といった場合には、
３と２の最小公倍数である６の倍数で考えて個数を導けばよいとわかるのですが・・・。

自分でも調べてみて、３で割ると１余る→３X+１か３x－2で表せるなど色々考えてみたのですが、行き詰ってしまいました。

どうかご指南をよろしくおねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2010/06/15 11:07

３で割ると１余る数が

3n+1で表されるのは理解されていると思います。(nは自然数）
これが偶数ということは
１が奇数なので、3nは奇数、従って、nも奇数になります。
ここで、n=2m+1（mは自然数）とすると、
3n+1=3(2m+1)+1
=6m+4
となります。
なので、求める数は
６で割ると４余る数字となります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。大変わかりやすく、失念していた偶数と奇数の性質について気づくことができました。

３で割ると１余る数は、３ｎ＋１。
これが偶数になるということは、３ｎ＋１の『１』が『奇数』であることから、

偶数の性質の、『奇数と奇数の和は偶数』となるより、

※『偶数と偶数の和もしくは差はいずれも偶数。奇数と奇数の和、差もともに偶数であり、偶数と整　数（偶数でも奇数でもよい）の積も偶数となる』

３ｎ＋１が偶数になるには、『奇数』である『１』にさらに『奇数』を加えてあげればよいから、
３ｎを『奇数』となるようにする。

ここで奇数の性質、『奇数と奇数の積は奇数』となるより、

※『偶数と奇数の和、差はともに奇数である。奇数と奇数の積もまた奇数である』

３ｎを『奇数』にするには、『ｎを奇数にしてあげればよい』ので、
ｎ＝２ｍ＋１とおけばよい。

よって、３で割ると１余る偶数は、
３ｎ＋１にｎ＝２ｍ＋１を代入して、３(２ｍ＋１)＋１＝６ｍ＋４、６で割ると４余る数となるのですね。

お礼日時：2010/06/15 12:32

No.2 回答者： Joe_Fox 回答日時： 2010/06/15 10:58

こんにちは。

まず、３で割って１あまり数と、
６で割って４余る数、両方を満たす例で考えてみましょう。

おそらく、これを満たす一番小さい整数は１０です。

たとえば、１０を３で割ると、答えは３、あまりは１ですよね？
では、１０を６で割ると、答えは１、あまりは４ですよね？

つまり割る数である「３」が３つ必要な時には、
「６」は１つで済みますよね？

かつ「６」で割った場合は、「３」で割った時よりも、割る数が「３」少ないということはわかりますか？

つまり「３」が３つで９になり、
「６」が１つに「プラス３」で９になるからです。


ひとつ足りない「プラス３」と、
３で割った場合のあまり「１」を合計すると、４になるので、
「６で割った場合はあまりは４」になるのです。



これで答えになっていますか？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

『１０を３で割ると、答えは３、あまりは１』
１０÷３＝３あまり１、
よって３×３×３＋１＝１０、３＋３＋３＋１＝１０

『１０を６で割ると、答えは１、あまりは４』
１０÷６＝１あまり４、
よって６×１＋４＝１０、６＋４＝１０

『割る数である「３」が３つ必要な時には、「６」は１つで済む』
『かつ「６」で割った場合は、「３」で割った時よりも、割る数が「３」少ない』
　　　　　　　　　　　　　　　　↓
『つまり「３」が３つで９になり、「６」が１つに「プラス３」で９になるから』
３×３×３＝９　　→　３＋３＋３＝９

６×１＋３＝９　　→　６＋３＝９　→　６＝３＋３と考えると、(３＋３)＋３＝９といえる。

ここで１０÷６を考えると、
１０÷６＝１あまり４
６×１＋４＝１０、４＝３＋１と考えると、
６×１＋(３＋１)＝１０、６＋(３＋１)＝１０、
(３＋３)＋(３＋１)＝１０

１０÷６の(３＋３)＋(３＋１)＝１０と、１０÷３の３＋３＋３＋１を見比べてみると同じことをいっているということでしょうか。用は()？のくくり方のちがいと申しましょうか。あとはこれを文字式で考えてあげれば、問題の答えがでるのですね。
うまく言えなくてすいません。

お礼日時：2010/06/15 13:05

No.1 回答者： cowstep 回答日時： 2010/06/15 10:49

３桁の数字で、３で割ると１余る偶数を小さい方から順に拾い出すと、

１００　１０６　１１２　１１８　１２４　１３０・・・
６ずつ増えていることが分かります。
従って、６で割れば、余りは共通の筈です。
そこで１００を６で割ってみると、余りは４で、以下同様です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

実際に３桁の数字で、３で割ると１余る偶数を書き出してみて、
そこから共通性(ここでは６ｍ＋４で表せる数であるということ)を見出して行くという解法でしょうか。

実際に書いてみるというのも大事なのですね。この解法なら偶数と奇数の性質を失念していた場合でも答えを導くことができますね。

こういったタイプの解法がわたしにとっては盲点なようでして。もっと勉強しなければ・・・。

お礼日時：2010/06/15 13:12