約数の総和

約数の総和

以下のような、算数の問題がでました。
どのように解けばよいのでしょうか？

ある整数があります。
この整数のすべての約数をたすと、1344になります。
また、それぞれの約数を逆数にしてから、全てたすと、5分の16(16/5)になります。
このとき、元の整数を求めなさい。

ご回答よろしくおねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/16 22:17

約数は、ある約数×別の約数＝もとの数 という関係で、

二個づつ対になっているのですが、解りますか？
これを ある約数＝もとの数×(1/別の約数) と変形して、
「ある約数」について Σ すると、
1344＝もとの数×(16/5) となります。
もとの数＝1344×(5/16)＝420 ですね。

この回答へのお礼

なるほど！
約数が対になっていることなどを含め、3行目までは分かっていたのですが、4行目からは気づきませんでした。
16/5＝1344/420だったのですね。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/06/17 22:46

No.4 回答者： birthdayh8 回答日時： 2010/06/17 22:08

No.2の補足です。

（３さんへの回答も含めて）

８４を求める必要は全くありませんでした（汗

８４を使わずに計算すると，　１３４４×５／１６　となり，
計算すると４２０になります。

でも，計算途中で８４はでてきます。

１３４４と１６を約分したときに　８４×５　となるので，同じことですね（焦

伝わりましたでしょうか？？

この回答へのお礼

とてもよく伝わりました。
元の数をnとして、約数を足していくと、1+a+ … m+nとなり、
約数の逆数を足していくと、1/1 + 1/a + … 1/m + 1/n となり、通分すると、n/n + m/n + … a/n + 1/nで（1+a+…m+n）/nになるのですね。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/06/17 22:52

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/17 21:43

84 を求めた意味は？

No.2 回答者： birthdayh8 回答日時： 2010/06/17 16:34

どうも＾＾

中学２年です。
いろいろやっているうちに法則（？）を見つけました。
逆数の和は　約数の和／ある整数　です。
だから，１６／５は約分された数で，約数の和はわかっているので，

１３４４÷１６＝８４
８４×５＝４２０

で４２０が出ました♪
実際に足してみると１３４４になったので間違いないとおもいます☆★