集合の問題です

集合の問題です

x∈Nと<v(x),1>∈Z
を同一視する

ただし<v(x),1>はv(x)-1を意味する
またv(x)=x＋1

とすると下の≦がwell-definedでありNの順序の拡張であることを示せ
x≦y⇔<v(x),1>≦<v(y),1>
という問題です
well-defined
の意味は元の取り方によらず定義が出来ている事を証明せよという意味みたいですが、具体的にどうすれば証明ができるのかがよくわかりません

できる方いましたらよろしくお願いします

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/06/27 12:51

とりあえず、「全て」を記載しないとまったく訳がわかりません。

きっと自然数 N から整数 Z を構成しようとしているのでしょうけど。

No.2 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/06/29 03:29

N=(全自然数の集合)

N^2={(a,b)|a∈N,b∈N}
(a,b)∈N^2 に対して
<a,b>={(x,y)∈N^2|(a,b)∈N^2,a+y=b+x}
として、
Z={<a,b>|(a,b)∈N^2}
と整数の集合を定義する
x∈Nと<x+1,1>∈Z
を同一視する

下の≦well-definedでありNの順序の拡張となる
<a,b>≦<c,d> ←def→ a+d≦b+c

<a1,b1>=<a2,b2>,a1+b2=b1+a2
<c1,d1>=<c2,d2>,c1+d2=d1+c2
a1+d1≦b1+c1
とすると
a2+d2+b1+c1=a1+d1+b2+c2
a1+d1=b1+c1のとき
a2+d2=b2+c2
a1+d1<b1+c1のとき
a1+d1+e=b1+c1
となるeがある
a2+d2+a1+d1+e=a1+d1+b2+c2
a2+d2+e=b2+c2
a2+d2<b2+c2
∴≦well-defined

x≦y←→x+2≦y+2←→<x+1,1>≦<y+1,1>
∴Nの順序の拡張となる