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|A|=m,|B|=n(m<_n)のときの単射f:A→Bの総数を求めよ

この考え方もわかりません どなたか教えてください

A 回答 (3件)

>どうしてf(a(m))の取りうる値はn-m+1通り なのですか?


単写、という言葉の意味は分かりますよね?念のため書きますが
 a≠bならばf(a)≠f(b)
という意味です。

f(a(1))のとりうる値の種類はBの要素数のn個です。
f(a(2))のとりうる値の種類は集合Bからf(a(1))の値として選んだ値を除いた集合の個数であるn-1個です。
f(a(3))のとりうる値の種類は「集合Bからf(a(1))の値として選んだ値を除いた集合」から(a(2))の値として選んだ値を除いた集合の個数である(n-1)-1=n-2個です。
f(a(3))のとりうる値の種類は…

ということをa(m)まで繰り返していけば、a(m)のとりうる値の種類がn-m+1個になることが分かります。

なお、上の「…」で省略した部分が分からない、といわれても、私にはそこをやっていく根気はありません。
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  これは単射の問題なので、そのまま考えます。m<=nというのが条件だと理解します。
 
  Bの要素のなかで、n-m個が、写像とは関係のない、対応要素のない要素になります。従って、これを排除して考えるのがよいことになります。こういうn-m要素を外した、Bの部分集合の異なる可能性の数は、nから任意にn-m個の要素を選ぶ組み合わせです。これは、nCn-mです。具体的には、n(n-1)(n-2)……(n-m+1)/m!=nPn-m/m!=rです。(rは適当な文字です)。
 
  要素が違うr個の集合があるということになり、濃度は、Aと同じです。
 
  このr個の集合のそれぞれに対し,Aからの単射があることになります。その単射の組み合わせ数は、m!となります。
 
  先のr個の集合は、みな異なる集合です。何故なら、どれも、最低、一個の要素が食い違っているからです。つまり、仮にBから、{a,b}要素と{a,c}要素を除いた二つの集合を考えると、先にはcがあるがbがなく、後は、bはあるがcがないという風に違った集合です。
 
  r個の集合をBrと表現すると(r=1,2,3……)、A→Brの単射は、いかなる組み合わせを造っても、同じものはないということになります。何故なら、Brは、rが違えば、それぞれ別の集合だからです。
 
  一般に別個のm個の要素からなる集合から、同じように、別個のm個の集合への単射の数は、すでに上でも述べたように、m!です。従って、Aに対するBrの数をかければ、これが、問題の答えです。すなわち、(nCn-m)X(m!)です。ところで、nCn-m というのは、nPn-m/m!です。これにm!をかけるのですから、答えは、nPn-m です。
 
  回答: nP(n-m)
 
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http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=209227
のほうでも書きましたが、|A|はAの要素数という意味でしょうか?
ここではそうだと解釈します。

A={a(1),a(2),…,a(m)}とします。すると、fは単車なので、
 f(a(1))の取りうる値はn通り、
 f(a(2))の取りうる値はn-1通り、
  …
 f(a(m))の取りうる値はn-m+1通り、
となります。これを掛け合わせると、
 n*(n-1)*…*(n-m+1)={n*(n-1)*…*1}/{(n-m)*(n-m-1)*…*1}
          =n!/(n-m)!
          =nP(n-m)
となります(ただし、nP(n-m)のnおよびn-mは下添字)。

この回答への補足

どうしてf(a(m))の取りうる値はn-m+1通り なのですか?

補足日時:2002/01/31 23:25
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|X|=4、|Y|=3であるとき、写像f:X→Yで全射になる写像の総数はいくらか

この回答は36なのですが、考え方が良くわかりません、誰か教えてください、お願いします

Aベストアンサー

 
  この問題に関しての回答でよいということなら記します。
 
  XとYは、要素の差が1しかありません。これがもっとたくさんだと、計算が複雑で解きにくいのですが、ここでは、差1なので、順列組み合わせの考え方を使います。
 
  Yの要素は3個ですから、これを三つの位置と考え、この位置に、Xの四つの要素を入れて行くことにします。この場合、Xの要素のどれか二つが、Yの同じ位置に入ることになります。そこで、Xの要素から二つを組み合わせる可能性の数を考えると、それは4・3で12ですが、これは順列でないので、2で割ると6が出てきます。
 
  Xの四個の要素のなかで、二つを選ぶと、残りの二個は自動的に決まります。つまり、6通りに分けて、それぞれ要素が違う三つの要素があると考えてよいのです。こう言っても分かりにくいかも知れませんから、具体的に、その6通りを以下に書いてみます。X={a,b,c,d}とします。
 
  ケース1){(a,b),c,d}
  ケース2){(a,c),b,d}
  ケース3){(a,d),b,c}
  ケース4){(b,c),a,d}
  ケース5){(b,d),a,c}
  ケース6){(c,d),a,b}
 
  これら6個のケースは、すべて要素が違う集合と考えても構いません。Yの三つの要素の位置に、これら6ケースごとで、三つの要素を入れて行く(対応させて行く)ことを考えると、これが、X→Yの全射になります。6個のケースで、三つの要素の順列を入れ替えても、6個のケースで、同じ、重複した順序はできません。
 
  従って、Yの三つの位置に対する順列を取ると、3・2・1=6で、これと、ケースの数6をかけると、6・6=36になり、これが、答えです。
 
  注記)六個のケースの三つの要素(二つの要素の組み合わせで、一つの新しい要素を造っていることに注意)の順列をどう入れ替えても、6個のケース全体で、同じ重複した組み合わせはできないというのがポイントです。「二重要素」を定義しているので、重複が排除されるのです。
 

 
  この問題に関しての回答でよいということなら記します。
 
  XとYは、要素の差が1しかありません。これがもっとたくさんだと、計算が複雑で解きにくいのですが、ここでは、差1なので、順列組み合わせの考え方を使います。
 
  Yの要素は3個ですから、これを三つの位置と考え、この位置に、Xの四つの要素を入れて行くことにします。この場合、Xの要素のどれか二つが、Yの同じ位置に入ることになります。そこで、Xの要素から二つを組み合わせる可能性の数を考えると、それは4・3で1...続きを読む

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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