f(θ)=2sinθ-3cos^2+1について

f(θ)=2sinθ-3cos^2+1について
0≦θ<2πの範囲における方程式f(θ)=aの相違なる解が
ちょうど4個あるような実数aの値の範囲を求めよ。


この問題が分かりません。(;_:)
解説をおねがいします。

sinθ=tと置きかえて3t^2+2t-2=a
ここまでしか分かりませんでした。

No.3 回答者： Hyokko_Lin 回答日時： 2010/07/03 00:19

ごめんなさい。

図まで付けたのに計算をミスって、主に図が間違ってました……。

正しい図を載せておきます。

No.2 回答者： Hyokko_Lin 回答日時： 2010/07/03 00:12

そこまで至ったら、次に、

y=3t^2+2t-2
を、tの範囲に注意して、t-y平面上に描いてみましょう。
この放物線(の一部)と、y=aの交点が、与えられた方程式の解をとるtになります。

ここで、aの値は自分で決められるので、y=aの直線は、aの値によって上下に平行移動できます。
平行移動して、放物線とぶつからないようなaの値では、求める方程式の解はなく、
一か所で交わっているaの値では、解となるtは1つ、二か所ではtは2つとなります。

ところで、t=sin(θ)であるので、
t≠±1においては、1つのtに対して、その値をとるθは2つある事になります。

よって、相異なる解が4つあるのは、放物線y=f(θ)と直線y=aが2箇所で交わっている部分にaがある時になります。
（但し、a=-1は除く;t=1を満たすθは一つしかないので）

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/07/02 23:38

>sinθ=tと置きかえて3t^2+2t-2=a

>ここまでしか分かりませんでした。


その方程式を解いていけば解がいくつあるか、わかるのではないですか？