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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
位数45の群をG、Gの位数9の部分群をPとする。
><シローの定理>
>(4)シローp-部分群の個数は1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)
がポイント
しかもシローp-部分群の個数は|G:P|だから、|G|=45
の約数である。
45の約数1,3,5,9,15,45のうち3で割ると1余るのは1のみである
したがってGのシロー9-部分群の個数は1個である。
Gから元kを任意にとる。
群kPk^(-1)を考えるとkPk^(-1)の位数は9である。
ところが、のシロー9-部分群は1個だからkPk^(-1)=P
でなければならない。
したがってPはGの正規部分群である。
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