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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
akeboshiさん、こんにちは。
円に内接している長方形で、2辺がx,yとするのですね。
このとき、長方形の向かい合う頂点を結んだ直線は、
この円の半径になっていますね。
ですから、ピタゴラスの定理より、
x^2+y^2=r^2 r:この定円の直径とする
となっています。
さて、このときに、面積xyが最大になるときを考えたいのですね。
x>0,y>0ですから、xy>0です。
xyが最大になっているときは、当然x^2y^2も最大になっています。
x^2y^2の最大になるときを考えてみます。
x^2+y^2=r^2ですから、y^2=r^2-x^2
これを、
x^2y^2に代入すると
x^2y^2=x^2(r^2-x^2)=-x^4+r^2x^2
=-(x^2-r^2/2)^2+r^4/4
となるので、x^2y^2は、x^2=r^2/2
のときに、最大値r^4/4をとることが分かります。
さて、このときは、y^2=r^2-x^2=r^2-r^2/2=r^2/2=x^2
となり、y^2=x^2しかも、x>0,y>0でしたから
x=yとなっていることも分かります。
これは、どんな長方形かというと、隣り合う2辺の長さが等しい長方形→正方形
であることがいえるのですね。
というわけで、面積が最大になるときのx,yの関係は
x=y
このとき、
x^2y^2=r^2/4より
xy=√(r^4/4)=r^2/2
となるので、直径の2乗の半分になることが分かります。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください。
No.3
- 回答日時:
#1、#2に解答が出ているので蛇足になりますが
対角線を考えると
x^2+y^2=(2r)^2 一定
このときxyの最大値とそのときのx,yを求めよ。
こんな問題になります。
解法としては
(1)xy=k と置く。
(2)相加平均>=相乗平均 を使う。
などが考えられます。
相加・相乗平均を使ってみると
x^2+y^2>=2√(x^2y^2)=2xy
だからxy<=(x^2+y^2)/2=2r^2
等号が成り立つのは x=y のとき
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