外接円と内接円

もう一つ分からない問題があったので教えてください。
AB＝ACである二等辺三角形ABCにおいてBC＝２であり、頂点AからBCに下ろした垂線の長さが２であるとする。
このとき△ABCの外接円と内接円の半径を求めよ。
という問題です。
お願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/07/21 23:47

akeboshiさん、こんばんは。

三角関数を使わないでやります。

まず、三平方の定理から、ＡＢとＡＣの長さを求めます。
ＡＢ＾２＝２＾２＋１＾２＝５＝ＡＣ＾２
なので、ＡＢ＝ＡＣ＝√5です。

まず、内接円の半径から求めます。
内心をＩとすると、
△ＡＢＣ＝△ＡＢＩ＋△ＢＣＩ＋△ＣＡＩ
と３つに分割できます。
内心Ｉから、それぞれの辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡまでおろした垂線の長さは等しいので
（それがちょうど半径ｒになっているので）
△ＡＢＣの面積は、
△ＡＢＣ＝底辺２×高さ２×(1/2)＝２
△ＡＢＩの面積＝底辺√５×高さｒ×(1/2)
△ＢＣＩ＝底辺２×高さｒ×(1/2)
△ＣＡＩ＝底辺√５×高さｒ×(1/2)
----------------------------------足すと

△ＡＢＩ＋△ＢＣＩ＋△ＣＡＩ＝（√５＋２＋√５）ｒ/2＝２

これを解いて、r=2/(√5+1)=(√5-1)/2・・・答え

次に、外接円の中心をＯとします。
外接円の半径はＲとしましょう。

ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ＝Ｒ
なので、△ＡＢＯは、二等辺三角形になっています。
さて、この面積は？？

ＯからＡＢにおろした垂線の足をＨとします。
△ＡＯＨにおいて、三平方の定理を使うと、
ＡＨ＾２＋ＯＨ＾２＝ＡＯ＾２
(√5/2)^2+OH^2=R^2
OH^2=R^2-(√5/2)^2とおけます。

すると、△ＡＢＯの面積は、
底辺をＡＢ＝√５
高さはＯＨ＝√｛R^2-(√5/2)^2｝
なので、面積は
√５×√｛R^2-(√5/2)^2｝×(1/2)・・・(1)

また、底辺をＡＯ＝Ｒ
高さをＢＣの半分＝１とみることもできるので、
面積はＲ×１×(1/2)・・・(2)

(1)=(2)より、
Ｒ＝5/4・・・答え

のように求めることができます。
これらは、高校の数学ですと、三角関数を用いて求めることも可能です。
参考になればうれしいです。頑張って図を描いてみてくださいね！！

この回答へのお礼

丁寧な解説本当にありがとうございました。理解できました。

お礼日時：2003/07/22 01:06

No.4 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/07/21 22:52

条件から三平方の定理でもって辺の長さがわかります。

外接円の半径
正弦定理でａ/sinＡ＝２Ｒ　を使います。
ｂ/sinＢ＝２Ｒ　のほうがいいかな。
図からsinＢがすぐ求まります。
sinＡのほうが少し厄介です。

内接円の半径
面積Ｓ＝(1/2)(a+b+c)r　を使います。
面積はすぐ求まります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。とても助かっています！

お礼日時：2003/07/22 01:03

No.3 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/07/21 22:51

＃２です。

計算間違いしました。
「訂正」
☆＝★より
ｒ＝２／（１＋√５）＝（√５－１）／２

No.2 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/07/21 22:48

内接円の半径をrとすると

△ＡＢＣの面積＝（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）×ｒ／２
で表せます。
三平方の定理より
ＡＢ＝ＡＣ＝√５とでますから
△ＡＢＣ＝（２＋２√５）r／２ーー☆
また
底辺×高さ×1/2より
△ＡＢＣ＝２ーー★とでます。
☆＝★より
ｒ＝１／（１＋√５）＝（√５－１）／４

頂点AからBCに下ろした垂線とBCの交点をＨとおき、外心をＯとおく。
外接円の半径をＲとおくと
△ＢＯＨに三平方の定理を用いて
ＡＨ＝２、ＡＯ＝Ｒ、よりＯＨ＝２－Ｒ
ＢＯ＝Ｒ、ＢＨ＝１
ＢＯ^2＝ＢＨ^2＋ＯＨ^2
Ｒ^2＝１^2＋(２－Ｒ)^2
Ｒ^2＝１＋４－４Ｒ＋Ｒ^2
∴Ｒ＝５／４です

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。参考になりました！

お礼日時：2003/07/22 00:56

No.1 回答者： masae1979 回答日時： 2003/07/21 22:48

akeboshiさんは高校生ですか？

中学生だと今から言うことは習っていないので、
また補足などでおっしゃってください。

三角形ＡＢＣの図をかきます。
ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＨとすると、
ＡＨ＝２ですよね。
∠ＡＨＢ＝９０°でありＢＨ＝１なので
三平方の定理からＡＢ＝√５です。

ここでまず、内接円ですが、半径をrとすると
三角形の面積はＳ=r(a+b+c)/2ですよね。
三角形ＡＢＣの面積は底辺ＢＣ×高さＡＨ÷２なので、
２×２÷２＝２です。
ａ＋ｂ＋ｃ＝２＋√５＋√５＝２＋２√５です。
よって２＝ｒ（２＋２√５）÷２となり
ｒ＝（√５－１）／２となります。

外接円の半径は正弦定理ですよね。
というわけでsin∠Ａがほしいのですが、
まずは余弦定理でcos∠Ａを求めます。
計算すると、cos∠Ａ＝3/5です。
sin∠Ａ＝√（1-cos^2∠Ａ）＝4/5です。
正弦定理で
２Ｒ＝ＢＣ/sin∠Ａなので、
Ｒ＝4/5です。

正弦定理・余弦定理は少し省略しましたが、
どうでしょうか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。理解できました！

お礼日時：2003/07/22 00:54