数学の線形代数の問題なのですが、n×nの２つのマトリックスA,Bがあり

数学の線形代数の問題なのですが、n×nの２つのマトリックスA,Bがあります。AとBの積の行列式はAの行列式とBの行列式の積となるようです。
すなわち、det(AB)=det(A)det(B) です。これは任意のn（１以上の整数）で成り立つのでしょうか。
テキストを見たのですが、省略されているようです。n=2の場合は、計算が簡単なので確かめられますが、高次だったらどうなるでしょうか。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： masudaya 回答日時： 2010/08/30 11:05

A=[a_i](n)(aiは列ベクトル)

B=[b_i,j](n,n)(b_i,jは実数)とすると
det(AB)=det(Σa_i・b_i,1,Σa_i・b_i,2,・・・,Σa_i・b_i,k,・・・,Σa_i・b_i,ｎ)
これを
det(a_1,a_2,・・・,a_k+b,・・・,a_n)=det(a_1,a_2,・・・,a_k,・・・,a_n)+det(a_1,a_2,・・・,b,・・・,a_n)
(a_i、bともに列ベクトル)を用いて和の形に展開して、
det(a_1,a_2,・・・,α・a_k,・・・,a_n)=α・det(a_1,a_2,・・・,a_k,・・・,a_n)
を用いて行列Bの要素を行列式から外に出すと、
det(AB)=det(a_1,a_2,・・・,a_k,・・・,a_n)b_1,1・b_2,2・・・b_n,n+・・・
+det(a_σ(1),a_σ(2),・・・,a_σ(k),・・・,a_σ(n))b_σ(1),1・b_σ(2),2・・・b_σ(k),k・・・b_σ(n),n
+・・・
(ここでdet(a_σ(1),a_σ(2),・・・,a_σ(k),・・・,a_σ(n)=sgn(σ)det(a_1,a_2,・・・,a_k,・・・,a_n)を用いる)
=det(a_1,a_2,・・・,a_k,・・・,a_n)Σsgn(σ)_σ(1),1・b_σ(2),2・・・b_σ(k),k・・・b_σ(n),n
(行列式の定義がdet(B)=Σsgn(σ)_σ(1),1・b_σ(2),2・・・b_σ(k),k・・・b_σ(n),n　なので)
det(AB)=detA・detB
となります。

No.1 回答者： used 回答日時： 2010/08/30 04:41

成り立つようですよ。

僕の持っている線形代数のテキストには証明が載っていますが、
ずいぶんと長いこと証明しています。

行列式の多重線形性と交代性を利用しているみたいです。
　http://www22.atwiki.jp/linearalgebra/pages/43.html
　http://www22.atwiki.jp/linearalgebra/pages/44.html

以下のサイトに証明の記載がありますが、よくわかりません…。

参考URL：http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA …