数列{an}の極限の求め方。

数列{an}の極限の求め方。


lim(√ｎ２乗＋４ｎ－ｎ)　
n→∞

この場合、√をｎ√１＋４/ｎと変形してはダメなのでしょうか？このように変形すると、ｎ－ｎ＝０となり、解は０となり不正解です。正解は２です。

正しい解き方は、√ｎ２乗＋４ｎ＋ｎを分母・分子に掛けるんですよね？それなら、正解の２に導けるのは理解できるのですが、上のように考えるとなぜダメなのかが分かりません。

ご指導お願い致します。

No.1 回答者： okada2728 回答日時： 2010/09/01 15:40

ダメな理由は次の通りです。

lim(an)→α(n→∞）
lim(bn)→β(n→∞）
のように各数列が収束する時のみ
lim(an-bn)→α-β(n→∞)
と計算できます。

今の場合
lim(n)→∞（n→∞）
であり、収束しない（発散）のでお考えの方法では計算できません。

いかがでしょうか。

No.2 回答者： tomokoich 回答日時： 2010/09/01 16:08

確かに正しいやりかただと

lim{4/(√(1+4/n)+1}
n→∞

だからnを∞だと4/2=2ですよね。

ｎ√(1+4/n)-n だとｎがついた項はひとつになっていないので極限値が求められないのでは？
一見したところでは√ の中は1になるので確かにn-nですが∞-∞というのはありなのかなと・・・
すみません。私も上のやり方でやるとしか思っていなかったので・・・
明確な回答を出してくださる方を待ちます

No.3 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/09/01 19:45

式の一部分だけにn→∞を使うから駄目なんです。

> この場合、√をｎ√１＋４/ｎと変形してはダメなのでしょうか？

この変形は別に良いです。

> このように変形すると、ｎ－ｎ＝０となり、解は０となり不正解です。正解は２です。

ここが違います。

lim n√(1 + (4/n)) - n
n→∞

の√(1 + (4/n))の部分だけに勝手にn→∞を適用して

lim n - n
n→∞

とする変形が誤りです。

例えばですが、n・(1/n)のn→∞の時の極限値を考えてください。
正しいやり方はn・(1/n) = 1とした後にn→∞を考えます(よって極限値1)。
ところがn・(1/n) = 1という変形を施す前に1/nにだけn→∞を適用してしまうと

lim n・(1/n)
n→∞
↓
lim n・0
n→∞
↓
lim 0
n→∞

となってしまい、極限値が0になります。

n→∞の極限を考える時は、
式の中にある「全ての」nを「同時に」無限大にするのが基本です。
この基本を守らないと、正しい極限値が出せません。

中には一部分にだけn → ∞を適用しても正しい値が得られる場合もあります。
でもそうなる場合は限られています。
なので極限の操作に慣れないうちはちゃんと基本を守った方が無難です。

この回答へのお礼

分かりました、と言いたいところですが、うーん、まだよく分かりません（涙）

お礼日時：2010/09/01 20:04

No.4 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/09/02 14:45

lim_{n→∞}a_n=a

←def→
∀ε>0→∃n_0(n>n_0→|a_n-a|<ε)

∀ε>0→∃n_0>4/ε
n>n_0→
|{√(n^2+4n)}-n-2|=|4/({√(n^2+4n)}+n+2)|<4/n_0<ε
だから
lim_{n→∞}[{√(n^2+4n)}-n]=2

1>ε
∃1>0(∀n→∃n_1>max(n,n_0)(|{√((n_1)^2+4(n_1))}-n_1|≧2-ε>1)
だから
lim_{n→∞}[{√(n^2+4n)}-n]≠0

この回答へのお礼

ご回答いただいておきながら申し訳ないんですが、全く分かりません。すみません。

お礼日時：2010/09/02 21:45

No.5 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/09/03 00:28

ANo.3です。

今回は

lim ～
n→∞

という式を

lim[n→∞](～)

という形で書いてみます。

> 分かりました、と言いたいところですが、うーん、まだよく分かりません（涙）

大事なのは「式の中の一部のnにだけn → ∞を使ってはダメ」という点です。

n√(1 + (4/n)) - nの中には3つnがあります。
この3つのnに同じ文字nが割り当てられているという事は、
「一番左のn」も、「真ん中のn」も、「一番右のn」も
「全く同じもの」だという事を意味します。

ところが質問者さんのやり方では
「真ん中のnだけ先に無限大に発散させて、他の2つは後から無限大に発散させる」
ということをしています。
つまり「真ん中のn」を「他2つのnとは違うもの」として扱っていることになります。
式で書くなら、質問者さんは

lim[n→∞] (lim[t→∞] (n√(1 + (4/t)) - n) )

という極限を考えていることになります。
真ん中にあったnがあたかも別の文字式(今回の例ではt)のように扱われているんです。

まとめると
・式の中にある複数のnはどれも「同じもの」である
・だから一部のnだけを特別扱いしちゃダメ
となります。