4点を通る曲線の方程式

4点を通る曲線の方程式

ある4点を通る曲線の方程式を作るにはどうしたらいいですか。
ご教授お願い致します。

No.1 回答者： yespanyong 回答日時： 2010/09/10 01:19

xy平面上の話であれば、yをxの三次式で表すことにより大抵のパターンはカバーできます。

例えば

y ＝ ax^3 ＋ bx^2 ＋ cx ＋ d

として、(x,y)に4点の座標を代入すれば全部で4つの方程式ができます。変数がa,b,c,dの4個なので、4つの方程式を連立させればa～dを求めることができます。

と書きましたが、求められない場合もあります(4点のうち複数の点が同じx座標値をもつ場合など)。そういう場合は座標軸の取り方を変えてみるとうまくいくかも知れません。

この回答への補足

皆様、ご回答どうもありがとうございます。
教えていただいた方法を元に少しやってみます。

また、質問に関して少し補足いたします。
4点を通るといたしましたが、3点の場合もあれば、5点以上の場合もあります。
曲線上の点は何点かサンプリングできますが。曲線は(0,0)を通りません。
曲線は弓型でたとえば(300,309),(400,425),(500,516),(600,586)という点をとおります。

以上です。ご教授の程お願いいたします。

補足日時：2010/09/13 00:15

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/09/10 01:24

こんばんわ。

だいぶ漠然とした問題ですが・・・
4点を通る
⇒ (x, y)の関係式が 4つ出てくる
⇒ 4つの未知数に関する関係式を導き出すことができる。

というところまで考えていけば
曲線が整式であるのならば、
3次関数：y＝ ax^3+ bx^2+ cx+ dの係数 a, b, c, dを未知数として考えることができます。

これは「確実にその 4点を通る曲線」として考える場合です。
実験データのように、誤差を伴うようなものの点であれば、また違った計算を用いることになってきます。
具体的にどのような値（データ）かによって、変わってくると思います。

この回答への補足

皆様、ご回答どうもありがとうございます。
教えていただいた方法を元に少しやってみます。

また、質問に関して少し補足いたします。
4点を通るといたしましたが、3点の場合もあれば、5点以上の場合もあります。
曲線上の点は何点かサンプリングできますが。曲線は(0,0)を通りません。
曲線は弓型でたとえば(300,309),(400,425),(500,516),(600,586)という点をとおります。

以上です。ご教授の程お願いいたします。

補足日時：2010/09/13 00:15

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/10 02:08

たいていの場合、二次式で済むんじゃない？

Axx+Bxy+Cyy+Dx+Ey+F=0 の x,y に 4 点を代入し、
A,B,C,D,E,F の連立方程式と見る。
6 元 4 連立だから、2 個くらいの値は
勝手に決めてしまっても大概
答えが得られる。

この回答への補足

皆様、ご回答どうもありがとうございます。
教えていただいた方法を元に少しやってみます。

また、質問に関して少し補足いたします。
4点を通るといたしましたが、3点の場合もあれば、5点以上の場合もあります。
曲線上の点は何点かサンプリングできますが。曲線は(0,0)を通りません。
曲線は弓型でたとえば(300,309),(400,425),(500,516),(600,586)という点をとおります。

以上です。ご教授の程お願いいたします。

補足日時：2010/09/13 00:13