aは１以上の実数、ｂは正の実数

aは１以上の実数、ｂは正の実数
(1)0以上のすべての実数xについて、不等式e^x-a(x+2b)>=0が成り立つ
　　ためのa,bの条件を求めよ。
　　これは、分かりました。答えは、b=<(1-loga)/2
(2)a,bが(1)でもとめた範囲を動くとき、定積分{∫[0->1]1/(x+2b)dx}/ae^bの値を最小にする
　　a,bとその最小値を求めよ。

　つぎのように考えましたが、答えと違いました。どこがいけないのか教えてください。
　a,bは(1)を満たすから、a/e^b=<1/(x+2b)となり、両辺に∫[0->1]をとると、
　∫[0->1]a/e^bdx=<∫[0->1]1/(x+2b)dx。左辺を積分して、両辺をae^bでわると、
　{(e-1)/e}×1/e^b=<{∫[0->1]1/(x+2b)dx}/ae^b・・＊
となり、e^bの最大値を考えればよい。b=<(1-loga)/2だから
　e^b=<e^(1-loga)/2 の最大値を考えると、a=1のときで、b=1/2
このときe^b=<e^(1/2)、＊から、最小値は(e-1)/e^(3/2)
となりましたが、答えはa=1、b=1/2最小値はlog2/√e。
　よろしくお願いします。

　

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/27 21:16

図を追加しとく。

二変数関数は、３Ｄで、書きにくいので、
一変数関数版でイメージだけ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
間違いが理解できました。
最小値を求める際、相加相乗平均を用いての
間違いやすい例と似ているということが、グラフ
を見て気づきました。

お礼日時：2010/10/28 08:29

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/27 18:22

＊ の左辺を最小にする a,b と、

右辺を最小にする a,b が、
同じとは限らない。
左辺を最小にする a,b に対しては
右辺と左辺の差が大きく、
右辺の最小は別の a,b で起こるのかもしれない。
実際、質問の例では、そうなっている。