行列の質問

連立方程式{ax+by=0がx=y=0以外の解をもつ⇔係数行列(a b)が逆行を持たない⇔⊿=ad-bc=0
　　　　　　　{cx+dy=0^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^(c d)

教えてほしいところ
１つ目と２つ目が必要十分条件の関係にない気がします。
まず、係数行列が逆行列を持たなくても一致になってx=y=0の解をもつ場合ってありますよね？？
よって必要十分条件の関係にないんじゃないですか？？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/11/17 19:09

日本語の問題としては「一致になる」というのはおかしい.

で, 「x=y=0 の解をもつ」として, だからどうしたというのですか?

No.2 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/11/17 19:23

> まず、係数行列が逆行列を持たなくても一致になってx=y=0の解をもつ場合ってありますよね？？

その場合、解が複数存在しますよね。
例えば
{2x + 3y = 0
}2x + 3y = 0
の場合、(x, y) = (0, 0)も解ですし、(x, y) = (3, -2)も解ですよね？

1つ目の条件は
「x=y=0以外の解を持つ」と書いてあります。
「x=y=0以外の解だけを持つ」とは書いてありません。
だから別に(x, y) = (0, 0)の解をもっていても良いんです。
例え(x, y) = (0, 0)の解をもっていたとしても、
(x, y) = (0, 0)以外の解(先ほどの例だと(x, y) = (3, -2)の事)が1つでも存在すれば、
「x=y=0以外の解を持つ」という条件を満たす事になります。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/11/17 22:53

論理学が苦手なようだが…

係数行列が逆行を持たなくても、x=y=0の解をもつ場合がある
…は正しいが、いったい何故それが
x=y=0以外の解をもつ ⇔ 係数行列が逆行を持たない
…の反例になると思うのか？
想像がつかないので、少し説明して欲しい。

普通に考えれば、係数行列が逆行を持たないときには、
x=y=0以外の解をもつと同時にx=y=0の解をもつ場合もあるのだな
と思うだけだ。他に、どんな考えかたが…？