2次曲線のグラフ

微積の授業中に2x^2+4xy+5y^2=6のグラフを書けという小テストがあったのですが、解法がほとんど分かりませんでした。
最近偏微分を学んだことから、x,y,xx,xy,yx,yyでの偏微分を求めて、それらを用いて解くのだと思うのですが、単に極値などが分かるだけで、これだけではグラフをどう描いていのか分かりませんでした。
また、グラフは式を平方完成してみた感じから、楕円になるのではないかと想像しています。

解法をご存知の方、解法の手順を教えていただけないでしょうか？
グラフを書くためにはまず、何をして次にはこうしてというように教えていただけるとありがたいです。
宜しくお願いします。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/23 02:07

座標軸xyを時計回りにθだけ回転した時、座標軸XYになるとすれば

2x^2+4xy+5y^2=6…(1)は、
XY座標軸における座標(X,Y)で表したときXYの積の項の係数が0になるような回転角θを
選べば、XY座標系でのグラフの方程式は２次曲線の標準形に出来ます。
座標軸の回転は数学で習っていませんか？
(x,y)⇔(X,Y)の回転移動の関係式から
x=Xcosθ-Ysinθ、y=Xsinθ+Ycosθ…(2)
(2)を(1)に代入してXYの項の係数=0とおいて回転角θを求めると
tanθ=2、またはtanθ=-1/2　が出てきます。

■θ=tan^-1(2)の時
X^2+(1/6)Y^2=1 …(3)
これは楕円で短軸半径a=1,長軸半径b=√6、中心(0,0)となります。
標準形になったので簡単にグラフが描けるでしょう。
新しいX軸は元の座標系の直線y=2x、Y軸は元の座標系の直線y=-x/2になります。

■θ=-tan^-1(1/2)の時
(1/6)X^2+Y^2=1 …(4)
これは楕円で長軸半径a=1,短軸半径b=1、中心(0,0)となります。
標準形になったので簡単にグラフが描けるでしょう。
新しいX軸は元の座標系の直線y=-x/2、Y軸は元の座標系の直線y=2xになります。

この回答へのお礼

お返事遅れました。
このたびはご解答ありがとうございます。
座標軸の回転を学んでいないのでしっくりこない感じです。
回転角θを求めてtanθが出たのちになぜ楕円の式が求まったのか、新しい軸の式が得られたのか考えてみましたがわかりません。
これらが分かればとても分かりやすい解法なのでぜひ覚えておこうと思うのですが。
また解答いただけるとありがたいです。

お礼日時：2010/11/27 00:17

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/23 02:55

#1です。

A#1での座標軸を回転した時のグラフの図を添付します。
青の座標軸が回転後の座標軸で正の方向へtanθ=2のθだけ回転したときの
X軸はy=2x,Y軸はy=-x/2になり、元のxy座標軸では傾いた楕円が、回転した座標系では楕円の標準形のグラフになります。
また青の座標軸で負の方向にtanθ=-1/2のθだけ回転したときの
X軸はy=-2/2,Y軸はy=2xになり、元のxy座標軸では傾いた楕円が、回転した座標系では楕円の標準形のグラフになります。

自分で座標軸の回転の計算をフォローしてやってみて下さい。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/23 02:58

#1,#2です。

A#2にグラフを添付するのを忘れたので改めて添付しておきます。グラフの説明はA#2を見てください。

この回答へのお礼

ご丁寧にグラフを添付していただきありがとうございます。
助かります。

お礼日時：2010/11/27 00:19

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2010/11/23 05:20

2x^2+4xy+5y^2=6　　x,y　に -x,-yを代入しても変わらないので、曲線は原点対称。

5y^2+4xy+(2x^2-6)=0
yの実数条件から、　　(2x)^2-5(2x^2-6)≧0　より　-√5≦x≦√5
x=-√5　のとき　y=-2*(-√5)/5=2/√5 , x=√5　のとき　y=-2*√5/5=-2/√5
2x^2+2*2y*x+(5y^2-6)=0
xの実数条件から、　　(2y)^2-2(5y^2-6)≧0　より　-√2≦y≦√2
y=-√2　のとき　x=-2(-√2)/2=√2 , y=√2　のとき　x=-2*√2/2=-√2
4x+4y+(4x+10y)dy/dx=0
dy/dx=-2(x+y)/(2x+5y) →　 (x+y)(2x+5y)>0 で減少、(x+y)(2x+5y)＜0　で増加
x+y=0 , 2x+5y=0 より (x,y)=(0,0)
これは曲線上に無いので、特異点（接線の引けない点）は無し。
y''(2x+5y)^2/(-2)=(1+y')(2x+5y)-(x+y)(2+5y')
=3y-3xy'=3y-3x{-2(x+y)/(2x+5y)}=3{y(2x+5y)+2x(x+y)}/(2x+5y)
=3(2x^2+4xy+5y~2)/(2x+5y)=3*6/(2x+5y)
y''=(-2)*3*6/(2x+5y)^3　→　2x+5y＞0　で　上に凸　、2x+5y＜0　で　下に凸

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます。
これを参考にグラフが書けるかやってみようと思います。

お礼日時：2010/11/27 00:05

No.5 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/23 13:26

#1-#3です。

座標系の回転で
長軸、短軸がy=2xとy=-x/2の楕円(1/6)X^2+Y^2=1またはX^2+(1/6)Y^2=1になることを示しましたが、折角辺微分を習われたことなので、
これを使って、斜めの楕円のxの範囲（xの最大値と最小値）やyの範囲（yの最大値と最小値）を求めることが出来ます。
2x^2+4xy+5y^2=6 …(1)
xで偏微分して
4x+4y=0 ⇒ y=-x …(2)
(1)と(2)を連立にして解けば、(x,y)=(√2,-√2),(-√2,√2)
これから　x=√2のときyの最小値-√2, x=-√2のときyの最大値√2　であることが分かります。
また(1)をyで偏微分して
　4x+10y=0 ⇒ 2x+5y=0 …(3)
(1)と(3)を連立にして解けば　(x,y)=(-√5,2/√5),(√5,-2/√5)
これから　y=-2√5のときxの最大値√5, y=2/√5のときxの最小値-√5　であることが分かります。

＃なせこのようにxやyの最大値、最小値（極大値、極小値)が出るかを考えて見てください。
楕円のグラフに(2)と(3)のグラフ（水色の直線）を描き込んでおきますのでグラフ的な意味を考えて見ると良いでしょう。

この回答へのお礼

度々ご解答ありがとうございます。
偏微分によってx,yの最大値や最小値、つまりxとyの範囲が分かるんですね。
参考にさせていただきます。
本当にありがとうございました！

お礼日時：2010/11/27 00:08