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もし、各時点の分布が正規分布で、その平均と標準偏差が時間の一次関数なら、すべての時間を寄せ集めた分布は、正規分布になりません。
さらに言えば、時間が無限に続いていくとき、平均が発散してしまいます。それでも、全体の平均と標準偏差を計算したいのでしょうか?ご質問のような状況のときは、確率過程(とくに加法過程)の言葉で記述するのが普通のように思います。
時間をtで表し、t時点の値をXtとします。すると、「平均と標準偏差が時間の一次関数」の前提の下で、
Xt = aYt + bt + c
と表すことができます。Ytは、標準正規分布に従う確率変数です。ここで、Xtの振舞を記述するには、次の値を推計することが主要目標になります。
(1)a、b、cの値
(2)Cov(Yt, Yt-s) -∞≦s≦∞
実践的には、もし、異なるtどうしでXtが独立なら、a、b、cは、最小2乗法で推計できます。そうでなければ、ARIMAモデルに当てはめる方法があります。
ネットで、「確率過程」、「正規加法過程」、「Wiener過程」、「時系列分析」、「自己回帰モデル」、「ARIMAモデル」などのキーワードで検索すると、参考になるサイトが見つかるかもしれません。
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