なぜ自然数を平方した数の約数の個数が奇数個なのか

私は高校受験を控えている者です。志望校の過去問に取り組んでいたら、ある数学の問題で「約数の個数が奇数個である数は自然数を平方した数です」と解説されていたのですが、それはなぜでしょうか？私は理由がないものを暗記するのが苦手なので、なぜそうなるのかという理屈が知りたいのですが。

No.3 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2011/01/02 11:41

「ある整数」の約数の個数を考えます。

（１）まず「１」とその「ある整数そのもの」はどんな場合でも約数なので、どんな整数でも最低２個（ひと組）は約数があることになります。

（２）ここで「１」と「ある整数そのもの」以外の約数の個数を考えますと、これが存在する場合には、ある例外を除いてこれも必ず２個が一組で存在することが分かります。

例えば６の約数を考えると、「１」と「６」以外の約数は「２」と「３」ですが6÷2=3 6÷3=2 なので「2と3」は一組です。
また２４の約数を考えると　「１」と「２４」以外の約数は「２」「３」「４」「６」「８」「１２」ですが、24÷2＝12、24÷3=8、24÷4＝6　…、24÷12=2　なので「2と12」、「3と8」、「4と6」がそれぞれ一組です。

（３）それでは２個一組ではない約数（上で述べた「ある例外」）があるのはどんな場合かといえば、それがご質問の「自然数を平方した数」の場合です。
例えば9の約数を考えると「１」と「９」以外の約数は9=3×3なので「３」の1個だけです。
また16の約数を考えると「１」「１６」以外の約数は「２」「４」「８」で、このうち「２と８」は一組ですが、16=4×4なので「４」は単独です。

（1)（2)（3)をまとめますと、整数の約数は一般には２個一組の倍数なので約数の個数は偶数個ですが、「自然数を平方した数」の場合に限り「２個一組ではない約数」（＝その整数の平方根である自然数）が１個存在しますので、約数の個数は（偶数＋１）個、つまり奇数個になることが分かります。

この回答へのお礼

6420408 様
　ご回答有難うございました。詳しく教えて頂いたので、よく理解できました。有難うございました。

お礼日時：2011/01/02 13:13

No.2 回答者： oosaka_ossan 回答日時： 2011/01/02 11:05

約数は１、・・・・その数自身ｎとなります

ある約数ｍに対してはｎ÷ｍ＝ｋとなる関係が
できますので、ｍとｋというぐあいに必ず対の関係になり
ますので、結果偶数になるのです。
ところが、平方数の場合では
ｎ÷ｍ＝ｍとなってしまい、対とならなくなりますので
奇数になるのです。

この回答へのお礼

oosaka ossan様
　早速のご回答有難うございました。少し難しかったのですが、何とか理解できました。有難うございました。

お礼日時：2011/01/02 14:18

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/01/02 10:55

まずは自然数の約数の個数を、具体的に 2, 3, 4, 5, 6, 7, と試しに 50個くらい数えてみましょう。

ここで「理屈」を聞いても、結局その理屈なるものを暗記しては意味がありません。

この回答へのお礼

早速の解答ありがとうございます。基本的な方法は分かりました。理屈は暗記するわけではなく、知っておきたいだけです。実際は事実を暗記するつもりです。

お礼日時：2011/03/12 22:01