5乗根の分数の有理化

Aの5乗根をｆ（A)と書くことにします。

このとき、次の分数を有理化する方法を教えてください。

1/{1+ｆ（64）-ｆ（4）}

五乗根の打ち方がわからないので、ｆで置きました。

「有理化」は「分母を正の整数、分子を整数と累乗根の和差積で表すこと」とします。

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2011/01/08 05:08

f(A)は使いづらいので、

f(2)=p　　（２の５乗根）
と置きます。

f(4)=p^2
f(64)=p^6=2p
なので、
1/{1+ｆ（64）-ｆ（4）}
=1/(1+2p-p^2)
=1/{2-(1-2p+p^2)}
=1/{(√2+1-p)(√2-1+p)}

分子分母に、
(√2+1)^4+(√2+1)^3p+(√2+1)^2p^2+(√2+1)p^3+p^4　と
(√2-1)^4-(√2-1)^3p+(√2-1)^2p^2-(√2-1)p^3+p^4　を掛ければ、
分母は、
{(√2+1)^5-p^5}{(√2-1)^5+p^5}
={(√2+1)^5-2}{(√2-1)^5+2}
={(√2+1)(√2-1)}^5+2{(√2+1)^5-(√2-1)^5}-4
=1+2(5*4+10*2+1)*2-4
=161