整数の倍数性

n=a1・a2・a3・…・am（a1～am:素数または1）
とすると、
kを自然数として、x^kがnの倍数ならば整数xもnの倍数

は言えますか？
すみません数学は得意ではないので…

No.6 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/13 22:27

重複は無いんだね。

各 ai は素数だから、「x^k が ai の倍数ならば x も ai の倍数」が言える。
ai が素数で、約数を 1 と ai しか持たないことから、
x と ai の最大公約数は 1 または ai。
最大公約数が 1 では、x^k が ai の倍数にはなれないから、
x と ai の最大公約数は ai。よって、x は ai で割り切れる。

a1～am の各々について、上記が言えるから、
x^k が n の倍数ならば x は a1～am の各々で割り切れる。
x の素因数分解を考えれば、x は n の倍数と判る。

No.5 回答者： uchinogako 回答日時： 2011/02/13 16:31

　補足です。

先ほどの内容の追加であれば、与えられた条件は成立でしょう。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/13 12:20

a1～am の中に、重複するものが在っても良いなら、不成立。

重複を許さないなら、成立する。

反例：
n=12, x=6, k=2.

No.3 回答者： uchinogako 回答日時： 2011/02/13 12:15

　こういった整数論の問題では、具体的に数を入れて『予想する』作業をしてみると良いと思います。

あと、この問題は、『あなたが作成したもの』または『誰かが作成したもので証明されていないもの』または『入試問題』『その他』のどれでしょうか。その内容によって、これ以上解答できるか否かも決まってしまいます。
　また、この問題では『負の倍数』をどう処理するべきかも微妙で、現段階では
『解答不能』
と判断させていただきます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。私が考えたものです。a1 からamは互いに異なった素数で、xは自然数なら、どうですか？

お礼日時：2011/02/13 14:53

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/02/13 12:02

この場合 1 は倍数かどうかに影響しないので, 最初から無視するのが普通じゃないかなぁ. つまり, a1～am は「素数」だけで十分なはず. なぜ 1 を入れなきゃならんのだろう.

a1～am がすべて素数であれば, その中に同じものがあるかどうかだけの勝負. あったら言えないしなければ言える.

この回答へのお礼

ありがとうございます。私が考えたものですので変なところがありました。

お礼日時：2011/02/13 14:55

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/02/13 11:53

言えません。