行列の対角化時、固有ベクトルとの関係は？

線形代数の講義で、、、

「Ａ、Ｂ∈ベクトル空間Ｖ、線形変換をＴとする。
対角行列Ａ＝Ｔ(Ｂ)＝Ｐ-1 B P　」

というのは、先生の板書で　なんとなくわかったのですが、

Ｔの固有ベクトルを、u1、u2、、、uN　とすると、
何故　Ｐが（u1、u2、、、uN）という行列になるのか　わかりません。

ご指導の程、お願いします。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/18 21:23

なんとなく解ったのですか？

ずいぶん混乱しているようですが。

まず、B がベクトルなのか、行列なのか
ぐらいは、ハッキリさせましょう。
「 」内の式は、行列積の次元が合いません。

質問の内容についても、変換 T の対角化が
T = (Pの逆行列) B P だとすれば、
(u1,u2,…,uN) は P ではなく、P の逆行列です。

自分が何を質問しようとしているのか、
教科書または講義ノートを確認してから、
質問を補足に書き直してみましょう。
その作業が、理解への最初の一歩です。

この回答へのお礼

お手数をおかけし申し訳ありません。
書き直しました。

先生の板書で、、、
　　　ベクトル空間Ｖの線形変換をＴとし、Vの基底を　u1、u2、、、uN　とする。
　　　この時　Ｔ(ui)＝λui　（つまりＴの固有ベクトル）となっていたなら
　　　Ｔ　を行列で表すと、対角要素を　λi　とする対角行列Ａになる。
　　　この行列A　は、図で書くと、

　　　　　U　－(A)→　U　　　　　　　←　AU＝λU　のこと（と思います）
　　　　　｜　　　　　　｜
　　　　　P　　　　　　　P　　　　　
　　　　　↓　　　　　　↓
　　　　　U　－(B)→　U

　　　の関係であり、
　　　左上端から右上端に行ったのと、下を通って行ったのが同じ結果になることから、
　　　　　　　ＡU＝P^-1BPU
　　　したがって、
　　　　　　　Ａ＝P^-1BP
　　　が言える。
しかし、Ｐと（u1、u2、、、uN）という行列との関係か　わかりません。
自分で考えたのですが、
T(ui)　を　素直に　行列Aで表して、
A(ui)＝λi　ui
PA(ui)＝λi　P　ui
Aは対角要素を　λi　とする対角行列だから、、、ここからがわかりません。

ご指導の程、お願いします。

お礼日時：2011/02/24 23:16

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/25 22:10

だから、P = (u1,u2,…,uN) ではなく、P^-1 = (u1,u2,…,uN) なんですよ。

P^-1 = (u1,u2,…,uN) と置くと、
第 k 成分のみが 1 で他は 0 の単位ベクトルを ek として、
(P^-1) ek = uk になりますね？ よって、ek = P uk です。

変換 T を表す行列 A の固有値 λk に対する固有ベクトルが uk ですから、
A uk = λk uk です。

以上を併せると、
P A (P^-1) ek = P A uk = P λk uk = λk P uk = λk ek となります。
この式の値を第 k 列とする N 次正方行列を考えると、
P A (P^-1) は、第 k 対角成分が λk であるような対角行列と判ります。
その対角行列を B と置けば、P A (P^-1) = B より、A = (P^-1) B P です。

P を P = (u1,u2,…,uN) と置いたのでは、こうはいきません。

この回答へのお礼

やっとわかりました。
＞第 k 成分のみが 1 で他は 0 の単位ベクトルを ek として
これが、ミソですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/02/26 21:49